浅谈集合幂级数

叠甲：读者很菜。

集合幂级数是一个很厉害的东西。

我们对于是有限集的全集 $\mathbb{U}=1,2,\dots n$，我们利用占位符 $x^S$ 来表示一个序列 $f$，其中对于 $S\subseteq \mathbb{U}$ 的值为 $f_S$。

一般记为 $F=\sum _{S\subseteq \mathbb{U}}{f}_S{x}^S$。

对于占位符的运算，有 $x^S\times x^T=\{\begin{array}{ll}{x}^{S\cup T}& ,S\cap T=\varnothing \\ 0& ,S\cap T\ne \varnothing \end{array}$。

子集卷积

我们考虑最基本的卷积运算：

已知 $F=\sum _{S\subseteq \mathbb{U}}{f}_S{x}^S$ 和 $G=\sum _{S\subseteq \mathbb{U}}{g}_S{x}^S$ 如何求解 $H=F\times G$。

【模板】子集卷积

如果运算有 $x^S\times x^T=x^{S\cup T}$，这就是普通的或卷积，可以 $O(n{2}^n)$ 实现。

但是并不是，只有在 $S\cap T=\varnothing$ 的时候才会做贡献，考虑在或卷积的基础上增加一些修改，使得其满足这个条件。

我们知道 $|S|+|T|\ge |S\cup T|$，取等的时候当且仅当 $S\cap T=\varnothing$，这就完美的满足了我们的条件。

所以我们添加一个占位符 $y$。$x^S$ 变成 $x^S{y}^{|}S|$，则 $(x^S{y}^{|S|})\times (x^T{y}^{|T|})=x^{S\cup T}{y}^{|S|+|T|}$，这样就完美的符合了我们的要求。

具体的实现，就是增加以为，这一位的运算是朴素的多项式卷积。

多项式卷积使用暴力算法可以做到 $O(n^2{2}^n)$，可以用 FFT/NTT 优化到 $O(n\log n{2}^n)$，但是常数太大，完全没有必要。

void mul(int *F,int *G,int *H)
{
	memset(f,0,sizeof(f)),memset(g,0,sizeof(g));
	for(int i=0;i<st;i++) f[pct[i]][i]=F[i],g[pct[i]][i]=G[i];
	for(int i=0;i<=n;i++) FMT(f[i]),FMT(g[i]);
	for(int S=0;S<st;S++)
	{
		for(int i=n;~i;i--)
		{
			g[i][S]=1ll*g[i][S]*f[0][S]%Mod;
			for(int j=1;j<=i;j++)
				add(g[i][S],1ll*f[j][S]*g[i-j][S]%Mod);
		}
	}
	for(int i=0;i<=n;i++) iFMT(g[i]);
	for(int i=0;i<st;i++) H[i]=g[pct[i]][i];
}

子集卷积 exp

我们来考虑上面卷积运算的一些组合意义：

如果我们想要查询有 $f$ 中两个不交集合构成集合对应的方案数，其为 ${\displaystyle \frac{F\times F}{2}}={\displaystyle \frac{F^2}{2}}$。

依此类推选择 $k$ 个构成的不交集合就是 ${\displaystyle \frac{F^k}{k!}}$（除 $k!$ 的原因是选择这些集合的相对顺序是无关的）。

我们考虑选择若干个不交集合（考虑可以不选），有 $G=x^{\varnothing }+\sum _{k=1}{\displaystyle \frac{F^k}{k!}}$。

发现 $\sum _{k=1}{\displaystyle \frac{F^k}{k!}}$，这个东西就是 $\exp F-1$。也就是说 $G=\exp F$。

因此，还是在 $x$ 维上做或卷积，在 $y$ 维上我们做多项式 $exp$，我们就可以通过 $F$ 来生成 $G=\exp F$ 了。

$G=\exp F$，所以 $G^{\prime }=(\exp F{)}^{\prime }$。

所以 $G^{\prime }=\exp F\times F^{\prime }\Rightarrow G^{\prime }=G\times F$。

$\sum _{i}i{g}_i{y}^{i-1}=(\sum _i{g}_i{y}^i)\times (\sum _{i}i{f}_i{y}^{i-1})$。

所以 $n{g}_n=\sum _{i=1}^n{f}_i\times g_{n-i}$。这样单次 $exp$ 可以做到 $O(n^2)$，所以整体就可以做到 $O(n^2{2}^n)$。

而子集卷积 exp 的组合意义就是：选择若干个不交集合组合在一起的所有方案。

void exp(int *F,int *G)
{
	memset(f,0,sizeof(f)),memset(g,0,sizeof(g));
	for(int i=1;i<st;i++) f[pct[i]][i]=F[i];
	for(int i=0;i<=n;i++) FMT(f[i]);
	for(int S=0,tmp;S<st;S++)
	{
		g[0][S]=1;
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			for(int j=1;j<=i;j++)
				add(g[i][S],1ll*j*f[j][S]%Mod*g[i-j][S]%Mod);
			g[i][S]=1ll*g[i][S]*inv[i]%Mod;
		}
	}
	for(int i=0;i<=n;i++) iFMT(g[i]);
	for(int i=0;i<st;i++) G[i]=g[pct[i]][i];
}

子集卷积 ln

有 exp 就自然会有 ln。

既然 exp 是组合，那么 ln 就是拆分。

exp 是已知 $f$ 得到 $g$，ln 就是通过 $g$ 得到 $f$。

由于 $n{g}_n=\sum _{i=1}^n{f}_i\times g_{n-i}$，所以 $n{g}_n=n{f}_n{g}_0+\sum _{i=1}^{n-1}{f}_i\times g_{n-i}$（$g_0=1$）。

$f_n=g_n-{\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{i=1}^{n-1}{f}_i\times g_{n-i}$。

这样实现的复杂度也是 $O(n^2{2}^n)$ 的。

组合意义就是：拆分成若干个不交集合。

void ln(int *F,int *G)
{
	memset(f,0,sizeof(f)),memset(g,0,sizeof(g));
	for(int i=1;i<st;i++) f[pct[i]][i]=F[i];
	f[0][0]=1;
	for(int i=0;i<=n;i++) FMT(f[i]);
	for(int S=0,tmp;S<st;S++)
	{
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			g[i][S]=f[i][S],tmp=0;
			for(int j=1;j<i;j++)
				add(tmp,1ll*j*g[j][S]%Mod*f[i-j][S]%Mod);
			del(g[i][S],1ll*tmp*inv[i]%Mod);
		}
	}
	for(int i=0;i<=n;i++) iFMT(g[i]);
	for(int i=0;i<st;i++) G[i]=g[pct[i]][i];
}