矩阵树定理

一个用来求一张图的生成树个数的方法。

基础结论

在无向图中，定义一个点的度数为 $d_i$，边 $(u,v)$ 的数量为 $c_{u,v}$。
在有向图中，定义一个点的入度为 $in{d}_i$，出度为 $out{d}_i$，边 $u\to v$ 的数量为 $t_{u,v}$。

先把结论扔出来：

求无向图生成树：
记矩阵 $M=(m_{ij}{)}_{n\times n}$，其中 $m_{ij}=\{\begin{array}{ll}{d}_i& ,i=j\\ -c_{i,j}& ,i\ne j\end{array}$。
则删去这个矩阵第 $i$ 行和第 $i$ 列，得到的矩阵 $M^{\prime }$ 的行列式即为原图的生成树数。

求有向图外向树：
记矩阵 $M_{out}=(m_{ij})n\times n$，其中 $m_{ij}=\{\begin{array}{ll}in{d}_i& ,i=j\\ -t_{i,j}& ,i\ne j\end{array}$。
则删去这个矩阵第 $i$ 行和第 $i$ 列，得到的矩阵 $M^{\prime }$ 的行列式即为原图以 $i$ 为根的外向生成树数。

求有向图内向树：
记矩阵 $M_{out}=(m_{ij})n\times n$，其中 $m_{ij}=\{\begin{array}{ll}out{d}_i& ,i=j\\ -t_{i,j}& ,i\ne j\end{array}$。
则删去这个矩阵第 $i$ 行和第 $i$ 列，得到的矩阵 $M^{\prime }$ 的行列式即为原图以 $i$ 为根的内向生成树数。

证明就不在这里给出。

有了这个结论，我们就可以解决很多问题了：
Luogu P6178 【模板】Matrix-Tree 定理
[HEOI2015] 小 Z 的房间
[CQOI2018] 社交网络
[SHOI2016] 黑暗前的幻想乡

拓展延伸

其实对于对于树计数可以不是单纯的单个树求乘积，所有树求加和，也就是我们求的是 $\sum _T\prod _{e\in T}w(e)$。

然而内部不一定得是数乘，只要满足 $<W,+,\times >$ 构成环即可，比如可以是FWT等卷积。

[THUPC2019] 找树

考虑统计每一种可能结果的数量，找到其中值非零且最大的即可。
每一位按照它的运算方式使用对应的 FWT 方式即可，复杂度 $O(n^3{2}^w)$。