线性规划之单纯形算法

学了很长时间，一直不是很能理解，所以就准备写一篇。
这篇文章只讲单纯形算法。

假设我们已经得到了标准型：

$$\begin{array}{r}max:\sum _{i=1}^n{a}_i{x}_i\\ \sum _{i=1}^n{b}_{j,i}{x}_i=c_j& ,j=1,2\dots m\\ x_i⩾0& ,i=1,2\dots n\end{array}$$

而得到最优解的过程就是：
找到一个基变量和非基变量，将他们交换。我们通过不断地交换，不断地让答案更优。

这就是在凸壳上不断向最优解移动的过程。

先据一组数据作为具体的例子：

$$max:5x_1+2x_2$$

$$\{\begin{array}{l}30x_1+20x_2+x_3=160\\ 5x_1+x_2+x_4=15\\ x_1+x_5=4\\ x_1,x_2,x_3,x_4,x_5⩾0\end{array}$$

有 $m$ 条限制，我们分别令 $x_3,x_4,x_5$ 为其基变量，$x_1,x_2$ 为非基变量。
我们可以得到

$$\begin{array}{rlrl}max:& & 5x_1& +2x_2\\ x_3& =160& -30x_1& -20x_2\\ x_4& =15& -5x_1& -x_2\\ x_5& =4& -x_1\end{array}$$

我们令所有的非基变量为 $0$，我们可以得到一组解 $\{\begin{array}{l}{x}_1=0\\ x_2=0\\ x_3=160\\ x_4=15\\ x_5=4\end{array}$。

我们获得了一个小的可怜的答案——$0$。
而在我们要最大化的答案中，$x_1$ 和 $x_2$ 的系数均 $>0$，也就意味着，我们增大其中任何一个数又可以让答案变优，所以我们贪心地选择系数较大的 $x_1$。
我们把它从 $0$ 增大到某一个正实数，我们需要找到它的上界，也就是在 $x_1$ 不断地增加的过程中，哪一个非基变量会先变成 $0$。

仍然令其它非基变量是 $0$，我们可以得到三个基变量的限制：$\{\begin{array}{l}{x}_3=160-30x_1\\ x_4=15-5x_1\\ x_5=4-x_1\end{array}$，他们分别要求 $\{\begin{array}{l}{x}_1⩽\frac{16}{3}\\ x_1⩽3\\ x_1⩽4\end{array}$，其中最紧的限制为 $x_4$，我们就将 $x_4$ 变成非基变量，把 $x_1$ 变成基变量。我们就需要用 $x_4$ 和其他的非基变量来替换 $x_1$，根据等式 $x_4=15-5x_1-x_2$ 可以得到 $x_1=3-\frac{1}{5}{x}_4-\frac{1}{5}{x}_2$。

替换可以得到新的限制：

$$\begin{array}{rlrl}max:& 15& -x_4& +x_2\\ x_3=& 70& +6x_4& -14x_2\\ x_1=& 3& -\frac{1}{5}{x}_4& -\frac{1}{5}{x}_2\\ x_5=& 1& +\frac{1}{5}{x}_4& +\frac{1}{5}{x}_2\end{array}$$

这个限制我们可以得到解 $\{\begin{array}{l}{x}_1=3\\ x_2=0\\ x_3=70\\ x_4=0\\ x_5=1\end{array}$。
接下来我们继续重复这个过程，发现 $x_4$ 的系数是负的，我们交换它不会使得答案变优，所以我们只能替换 $x_2$。

仍然是有三条限制：$\{\begin{array}{l}{x}_3=70-14x_2\\ x_1=3-\frac{1}{5}{x}_2\\ x_5=1+\frac{1}{5}{x}_2\end{array}$，三个方程分别解出来为 $\{\begin{array}{l}{x}_2⩽5\\ x_2⩽15\\ x_2⩾-5\end{array}$，显然第三条限制是没有用的，其中最紧的限制是 $x_3$ 的限制，所以考虑将 $x_2$ 和 $x_3$ 进行交换，得到 $x_2=5-\frac{1}{14}{x}_3+\frac{3}{7}{x}_4$。

替换得到：

$$\begin{array}{rlrl}max:& 20& -\frac{4}{7}{x}_4& -\frac{1}{14}{x}_3\\ x_2=& 5& -\frac{1}{14}{x}_3& +\frac{3}{7}{x}_4\\ x_1=& 2& -\frac{1}{70}{x}_3& -\frac{2}{7}{x}_4\\ x_5=& 6& +\frac{1}{70}{x}_3& +\frac{2}{7}{x}_4\end{array}$$

发现剩下的两个系数都是 $<0$ 了，所以这就是可能的最优解了。

我们抽象一下刚才的过程，我们就可以得到一个具体的过程了：
找到最大的系数 $a_i$，如果其大于 $0$，我们找到所有对其限制最大的编号最小的一个基变量，将这两个变量进行一次交换，然后重复这个过程。

实现代码如下：

namespace XG{
    double a[50][50],tr;
    int n,m,ind[50];
    void turn(int x,int y)
    {
        for(int i=0;i<=n;i++)
            if(i!=x)
            {
                tr=a[i][y]/a[x][y];
                for(int j=1;j<=m;j++)
                    a[i][j]-=a[x][j]*tr;
            }
        tr=a[x][ind[x]=y];
        for(int i=1;i<=m;i++)
            a[x][i]/=tr;
    }
    double solve()
    {
        while(1)
        {
            double maxn=0,lim=1e18;
            int x=0,y=0;
            for(int i=1;i<=m;i++)
                if(a[0][i]>maxn)
                    x=i,maxn=a[0][i];
            if(!x) break;
            for(int i=1;i<=n;i++)
                if(a[i][x]>0&&lim>a[i][m]/a[i][x])
                    lim=a[i][m]/a[i][x],y=i;
            if(!y) break;
            turn(y,x);
        }
        return -a[0][m];
    }
}