浅谈 2-SAT

SAT 是适定性（Satisfiability）问题的简称。一般形式为 k - 适定性问题，简称 k-SAT。而当 $k>2$ 时该问题为 NP 完全的。所以我们只研究 $k=2$ 的情况。

而 2-SAT 问题一般指的是，有 $n$ 个布尔变量 $x_1,x_2\dots x_n$，现在有若干个二元的运算，是对于 $x_i,\mathrm{\neg }{x}_i,x_j\mathrm{\neg }{x}_j$ 进行 $\wedge ,\vee$ 或 $\oplus$，运算，问是否存在一种分配方式，使得所有的这些运算均为真。

因为它是二元的，所以叫做 2-SAT。

解决这个问题的关键就是将所有的逻辑语句统一，统一成 $p\to q$ 的形式。即 “如果选择了 $p$，就必须选 $q$”。

这样，我们将所有的 $p\to q$ 看作有向边，我们可以得到一张有向图。

那么我们可以知道，在同一个强连通分量中的所有点，要么同时选择，要么同时不选择。我们跑 Tarjan 缩强连通分量之后，会得到一个 DAG。

这是无解的条件就很明显：如果存在 $x_i$ 和 $\mathrm{\neg }{x}_i$ 在同一个强连通分量之中，则说明无解。然后我们对整张图进行缩成的 DAG 进行拓扑排序，每一个变量选择拓扑序较大的决策即可。

Luogu P4782 【模板】2-SAT 问题

有 $n$ 个布尔变量，有 $m$ 条件为 $x_i$ 为真/假或 $x_j$ 为真/假。询问是否有合法解，并给出一组构造。

每一个操作形如 $a\vee b$，相当于 $\mathrm{\neg }a\to b\wedge \mathrm{\neg }b\to a$，建图即可。

[JSOI2010] 满汉全席

有 $n$ 种食材，每种食材要做成两种食品中的一个，有 $m$ 个要求，每一个形如至少要有两种食品中的一个，问是否可以满足所有要求。

和上面一道题形式几乎相同。

[HNOI2010] 平面图判定

给定一张图，并给出他的一个哈密顿回路，判断这张图是否可以变成平面图。

根据平面图的定理，可以得到平面图的边数至多为 $3n+6$ 条，那么对于每一个不在哈密顿回路上的边，它要么在环外，要么在环内。
对于每一对边，暴力判断他们同时在环外或环内是否会有交，如果有，则他们之间会出现 $x_i\oplus x_j=1$ 的限制，拆成 $x_i\leftrightarrow \mathrm{\neg }{x}_j$，$\mathrm{\neg }{x}_i\leftrightarrow x_j$ 即可。
由于这个限制是双向的，可以直接使用并查集维护。

[北京省选集训2019] 完美塔防

不难证明，每一个 . 至多只会被两束合法的激光覆盖，具体的，因为没有任何可以使光线回合的一起，每一个方向至多只会有一条激光，而如果相对的方向都有激光则说明这样的组合是不合法的，因为他们会打到另一个仪器。

所以直接暴搜查询每一个点是否会被哪些光遍历，以及哪些光是合法的这样的操作复杂度是正确的，然后对于每一个位置，都是 $a$ 或 $b$ 的信息，直接见图跑 2-SAT 即可。

[NEERC2016] Binary Code

有 $n$ 个 $01$ 串，每个串至多有一个位置是不确定的，问是否有一种确定每一个不确定位的方式，使得没有任何一个串是另一个串的前缀。

由于每一个串至多有一个不确定位，相当于是在两种可能中选择，暴力连接所有可能的前后缀是 $O(n^2)$ 量级的边数，显然无法接受，所有考虑优化建边的过程。

具体的，我们考虑建出Trie树，这样每一个点的前后缀关系都可以在树上轻松表示出来，建两颗辅助的Trie树，一个向叶，一个向心即可，边数是 $O(\sum |S|)$ 的，再跑 2-SAT 即可。