浅谈数位DP

动态规划，是OI中极其重要的一环。
由于它的重要性，解决问题的广泛性，它衍生出了多种多样的DP。
其中，有一种特别搞人的叫做数位DP

思想

数位DP是通过每一位数字去递推，来统计从在 $[0,a]$ 中，有多少个数满足条件或者有多少种满足某一条件的方案数。
由于有一个统计的上界，所以对我们的DP会有所限制：
当你从低位往高位扫，你不一定能确定到了高位它会不会被限制；
当你从高位往低位扫，你不一定能确定到了低位它需不需要限制。
但是，有一类数位DP却是无拘无束：
Luogu P2106 Sam数
虽然它并不是严格意义上的数位DP（比如Luogu就没有给它数位DP的Tag），但是，它对我们做数位DP是很有启发意义的
为什么这道看着是数位DP的题目这么简单？
因为它题目说的是：

他将一个 k 位 Sam 数称之为 k 阶 Sam 数

一行一个整数 ans，表示 k 阶的 Sam 数的个数

因为它只要求了位数，或者说它要求的区间是 $[{10}^{k-1},{10}^k)$ 。
我们的唯一限制是位数是定下来的，每一位是0还是9我们并不关心（当然除了前导0蛤），并没有在每一位上面有什么好纠结的。
这时候我们就想了，既然只对位数有要求，或者只对首位有要求的都比较好求解，那我们是不是可以考虑把我们的问题拆分成若干个这样子的问题呢？
显然是可以的。

核心

对于 $A=\overline{a_n{a}_{n-1}\dots a_2{a}_1}$ 我们要统计 $[0,A]$ 中满足条件的数的个数，我们可以把它划分成若干个问题
$[0,A]=[0,a_n\ast {10}^{n-1})\cup [\overline{a_{n}0\dots 00},\overline{a_n{a}_{n-1}0\dots 00})\cup \cdots \cup [\overline{a_n{a}_{n-1}\dots a_{2}0},\overline{a_n{a}_{n-1}\dots a_2{a}_1})\cup \{\overline{a_n{a}_{n-1}\dots a_2{a}_1}\}$
这是它数学的拆分，或者我们把它理解成这样：
前几位锁定了，中间某一位可以从 $0$ 到 $a_k$ 选择，后面几位任意选
那么，前几位对于要求的影响是可以提前处理掉的，而且在接着往后处理的时候可以直接继承。
只需要枚举中间的一位，可以用数学或者其他的方法知道有多少可行的数字。
在这里讲道理只能知道思想，重点还是要去看题目。

代码实现

由于数位DP一般都是统计 $[l,r]$，由于同时有上下界，我们很难搞，一般就会转化成 $[0,r]-[0,l-1]$ （也有可能不取0）
所以一般数位DP都会是在一个int solve(int num)函数中解决问题
其次，由于我们是一位一位处理的，所以我们一般会对num在进行按位拆分，可能是十进制，也可能是二进制，甚至是K进制，当然，这也是因题而异。

例题

1. Luogu P2657 [SCOI2009] windy 数
   乍一看，这就是Sam数的逆反版，相邻两位数的差必须得大于等于2。
   那么我们考虑，加入被锁定了前几位，枚举这一位的可行情况：首先，被锁定的前几位要满足条件；其次，这一位枚举的数要和上一位满足条件；最后后几位要满足条件。
   考虑先预处理一个二维数组 $f_{i,j}$ 表示共 $j$ 位，最高位为 $i$ 的Windy数个数。
   这个的转移方程式显然的：$f_{i,j}=\sum _{k=0}^9[|k-j|⩾2]f_{k,j-1}$
   不难发现，如果锁定前 $i$ 位不满足Windy数要求，那么锁定前 $i+1$ 位也必然不满足，所以我们可以进行一次小优化
2. Luogu P4317 花神的数论题
   由于题目要求和二进制有关，所以我们可以把原数按二进制拆分。
   要求1到N所有数的二进制形式中1的个数的和的成绩，考虑转化为统计一共有多少个在1到N之间的数，他们的二进制形式中有k个1，那么它对答案的贡献就是 $k^{num}$
   前几位锁定了就确定了1的个数，如果当前位是0，没得可以选，直接跳过；遇到当前位为1的，可以讨论一下如果这一位是0，会有多少贡献，可以用组合数进行数学优化
3. Luogu P4127 [AHOI2009]同类分布
   这道题目要求各位数字之和能整除原数的数的个数，所以我们考虑额外统计一个数：代表它的各位数字之和。
   但是我们会发现，随着位数的推移，各位数字之和也会改变，导致我们通过取模优化空间十分的困难。
   如果各位数字之和确定了，那该多好……所以我们可以枚举各位数字之和，看既满足各位数字之和、又满足能被各位数字之和整除的有多少个即可

优化

有的时候，我们需要存储很多的信息，这种时候优化就很重要了

仍然是栗子

Luogu P3303 [SDOI2013] 淘金
这个题目很显然在数位DP的基础之上，还要求各位数字之积，考虑上界 $9^{12}\approx 2.82\ast {10}^{11}$ 很显然存下来是不现实的。
但仔细想想，比如就不可能存在各位数字之积是11的，是不是说其实有很多的空间是无用的呢——是的
各位数字之积，作为乘数的只有0到9。0是一个bug可以不考虑，那么其他的9个数只可能存在4种质因子：2,3,5,7
由于位数只有12位，所以我们也很容易计算出它的上界 $8^{12}=2^{36},9^{12}=3^{24},5^{12},7^{12}$
只需要在用滚动数组再优化一下空间就可以轻松地解决掉这道题了