数学 - 随笔分类 - Xun_Xiaoyao

摘要：听 zak 讲的，感觉很厉害。给定一个积性函数

S

，可以快速计算

S (p^{k})

，求

\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} S (i j)

。把

n, m

当作同阶。我们考虑枚举

i, j

的

gcd

。 \(\sum\ 阅读全文

posted @ 2024-02-19 13:24 Xun_Xiaoyao 阅读(117) 评论(0) 推荐(0) 编辑

浅谈集合幂级数

摘要：叠甲：读者很菜。集合幂级数是一个很厉害的东西。我们对于是有限集的全集

U = 1, 2, \dots n

，我们利用占位符

x^{S}

来表示一个序列

f

，其中对于

S \subseteq U

的值为

f_{S}

。一般记为 \(F=\ 阅读全文

posted @ 2024-02-18 19:22 Xun_Xiaoyao 阅读(266) 评论(1) 推荐(1) 编辑

鞅与停时定理例题记录

摘要：鞅与停时定理，一个很厉害的东西，感觉像是一种势能分析。关于它具体是什么，笔者的数学水平还不足以讲述，所以在这里推广一下：概率论科技：鞅与停时定理 - littleZ_meow 的小窝。下面的写法可能很不专业，请自行避雷。给出一种很 OI 的解释：你需要设计一个函数

f (x)

，有次能够得阅读全文

posted @ 2023-12-13 20:29 Xun_Xiaoyao 阅读(134) 评论(1) 推荐(1) 编辑

浅谈单位根反演

摘要：我感觉这东西还蛮有意思的。 ## 基础结论我们首先给出一个结论：

\sum_{i = 0}^{n - 1} ω_{n}^{i j} = n [n | j]

，其中

ω_{n}

表示

n

次单位根，具体的，它等于

e^{\frac{2 i π}{n}}

。下面给出证明：记 $f(x 阅读全文

posted @ 2023-09-07 15:25 Xun_Xiaoyao 阅读(440) 评论(1) 推荐(2) 编辑

线性规划之单纯形算法

摘要：学了很长时间，一直不是很能理解，所以就准备写一篇。 **这篇文章只讲单纯形算法**。假设我们已经得到了标准型： $$\begin{aligned} \max:\sum\limits_{i=1}^na_ix_i\ \sum\limits_{i=1}^nb_{j,i}x_i=c_j&,j=1,2\d 阅读全文

posted @ 2023-08-13 22:11 Xun_Xiaoyao 阅读(57) 评论(0) 推荐(1) 编辑

转置原理

摘要：基本原理我们知道矩阵的转置满足如下性质：记

V = E_{1} E_{2} \dots E_{k}

，则

V^{T} = E_{k}^{T} \dots E_{2}^{T} E_{1}^{T}

。这也就相当于，如果我们有快速的方法得到出

V^{T} = E_{k}^{T} \dots E_{2}^{T} E_{1}^{T}

的具体过程，也就是知道每一个

E_{i}

，我们就可以阅读全文

posted @ 2023-03-19 10:37 Xun_Xiaoyao 阅读(391) 评论(0) 推荐(0) 编辑

多项式全家桶

摘要：这里记录了我个人的多项式学习过程。（可能在任何时候改成vector写法的代码，但不知道是什么时候）下列过程中默认

n = 2^{k}

。 FFT 发现多项式

F (x)

在做乘法的时候复杂度为

O (n^{2})

的效率及其低下，对于许多题目是无法接受的。在不好用系数去维护多项式的时候，考虑使用点阅读全文

posted @ 2023-03-17 16:55 Xun_Xiaoyao 阅读(59) 评论(0) 推荐(0) 编辑

浅谈高维FWT

摘要：概述快速沃尔什变换，可以用来处理有关异或卷积的问题。而异或运算，也就是二进制下的不进位加法运算，我们考虑能否将其拓展到高维。也就是，在

k

进制下的不进位加法卷积。对于具体的某一位，我们的卷积方式就是：

a_{i} \times b_{j} \to c_{(i + j) mod k}

。我们考虑有什阅读全文

posted @ 2023-03-17 11:19 Xun_Xiaoyao 阅读(116) 评论(0) 推荐(0) 编辑

关于常系数齐次线性递推的一种实现方式（大常数警告）

摘要：在还没有理解矩阵做法之前，看着一些讲解搓出来的

O (k \log k \log n)

做法，估计已经有过了罢。题意：已知递推式

a_{n} = \sum_{i = 1}^{k} f_{i} a_{n - i}

，求

a_{n}

。假设我们知道 $a_n=\sum\limits_{i=0}^{k-1}p_i 阅读全文

posted @ 2023-02-23 21:36 Xun_Xiaoyao 阅读(33) 评论(0) 推荐(0) 编辑

常见数学结论

摘要：一些在OI中可能会用到的数学结论。它可能出现在算法的简化之中或者是复杂度证明之中。随时见到，随时添加。

\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{i} = O (\ln n) + C

, $\sum\limits_{p\leqslant n & p,\texttt{is prime}}\ 阅读全文

posted @ 2023-02-20 21:23 Xun_Xiaoyao 阅读(56) 评论(0) 推荐(0) 编辑

Burnside引理和Pólya定理

摘要：不想写很多冗杂的群论定义，所以本博客不是用来入门的。如果你想要入门，请点这里。概要对于一个作用在集合

X

上的有限群

G

，对于每个

g \in G

令

X^{g}

表示

X

在

g

作用下的不动元素，即

X^{g} = x | x \cdot g = x, x \in X

，则轨道数 $ 阅读全文

posted @ 2023-02-10 11:59 Xun_Xiaoyao 阅读(67) 评论(0) 推荐(1) 编辑

LGV引理

摘要：LGV引理是用来统计DAG中固定若干起点和终点情况下的选择不相交链的方案数的。同样用来优化计数问题，但是比Pólya定理友好多了，这也就是为什么它能够被直接糊到NOI考场上。对于一张DAG，每条边有一个边权

ω (e)

，我们记一条路径

P

的权值 $\omega(P)=\pro 阅读全文

posted @ 2023-02-09 20:15 Xun_Xiaoyao 阅读(384) 评论(0) 推荐(2) 编辑

数论知识点全明星

摘要：数论知识点整合。（但是我数论很菜呀！！！） ## 质数质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。 ### 单个数质数判断方法 1. 朴素算法：如果

n

不是质数，则

\exists p, q \in N^{*}, p q = n

，不妨令 $p \leqslant \sqr 阅读全文

posted @ 2022-11-13 18:12 Xun_Xiaoyao 阅读(235) 评论(2) 推荐(3) 编辑

OI中的一些数学小技巧

摘要：在OI比赛中，如果能够灵活地运用一些数学小技巧，是能够很好地优化计算的时间和正确性的。既然说了是小技巧，那么这些指的都是一些技巧，一般是不会单独成题的。本博客或会随着作者的见识而更新 Better的快速幂有的时候，我们要去求解一个数或者一个矩阵的若干次幂，而这个指数在一般情况下是暴力无法接受的阅读全文

posted @ 2022-08-25 13:52 Xun_Xiaoyao 阅读(113) 评论(0) 推荐(1) 编辑

Xun-Xiaoyao

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