[HNOI2015] 亚瑟王 题解

前言

题目链接：洛谷。

题意简述

一套按顺序的 $n$ 张卡牌，每张卡牌都有一个技能，第 $i$ 张卡牌的技能发动概率为 $p_i$，如果成功发动，则会对敌方造成 $d_i$ 点伤害，并弃置这张牌。一局游戏一共有 $r$ 轮，或者当手中没有任何一张牌的时候结束。在每一轮中，按照顺序依次考虑剩下的卡牌，如果成功发动，那么对敌方造成伤害，弃置它，进入下一轮，否则考虑下一张牌，或者当这张牌就是最后一张牌时，进入下一轮。求这套卡牌在一局游戏中能造成的伤害的期望值。

$1\le n\le 220$，$0\le r\le 132$，$0<p_i<1$，$0\le d_i\le 1000$。

题目分析

状压 DP 可以拿到部分分，但是没有任何前途。

显然可以对计数视角转化，考虑每一张牌在这一局游戏中，被打出的概率 ${\mathcal{P}}_i$，那么答案可以表示为 $\sum {\mathcal{P}}_i{d}_i$。考虑如何求 ${\mathcal{P}}_i$。

我们发现对于第一张牌 ${\mathcal{P}}_1$ 很容易求，就是 $1-(1-p_1{)}^r$。

我不会求 ${\mathcal{P}}_1$

考虑它没有被打出，当且仅当每一次考虑到它时，都以 $1-p_1$ 的概率没有打出，那么没有被打出的概率就是 $(1-p_1{)}^r$，对立事件即被打出了的概率即为 $1-(1-p_1{)}^r$。

或者有人将它理解为一个 01 序列，每一位独立且有 $p_1$ 的概率为 $1$。$1-(1-p_1{)}^r$ 表示至少存在一个 $1$ 的概率，似乎这是不对的。考虑一个存在多个 $1$ 的局面，其中第一个 $1$ 为 $i$，那么我们会统计到 $i+1\sim n$ 从 $000\dots 000$ 取遍 $111\dots 111$ 的任意局面，这些概率之和为 $1$，那么我们相当于统计到了 $1\sim i$ 形成 $000\dots 001$ 的局面然后马上停下的概率，也就是我们要求的。

发现其他 ${\mathcal{P}}_i$ 似乎不好直接列式子，我们希望它也可以使用形如 $1-(1-p_i{)}^k$ 的表达式来计算，其中 $k$ 表示在 $r$ 轮中，有 $k$ 轮 $1\sim i-1$ 都没有出牌，轮到了 $i$ 的判定。但是 $k$ 显然不是定值，那么我们就枚举 $k$，这样就需要知道恰有 $k$ 轮 $1\sim i-1$ 都没有出牌的概率。这个似乎可以 DP。设 $f_{i,j}$ 表示前 $i$ 张牌中，出了 $j$ 张牌的概率，于是有 $r-j$ 轮 $1\sim i-1$ 都没有出牌，即 $k=r-j$，${\mathcal{P}}_i=\sum _{j=0}^r{f}_{i-1,j}(1-(1-p_i{)}^{r-j})$。

接下来问题变成了如何求 $f_{i,j}$。边界为 $f_{1,0}=(1-p_1{)}^r$，$f_{1,1}=1-f_{1,0}$。从 $f_{i-1}$ 转移到 $f_{i,j}$，第 $i$ 张牌在 $r$ 轮中，可能出牌了，也可能没有出牌，分两种情况转移：

1. $i$ 出牌了。
   从 $f_{i-1,j-1}$ 转移而来。那么会有 $r-(j-1)$ 次判定到 $i$，$i$ 出牌的概率为 $1-(1-p_i{)}^{r-j+1}$。
   $$f_{i,j}\leftarrow f_{i-1,j-1}(1-(1-p_i{)}^{r-j+1})$$

2. $i$ 没有出牌。
   从 $f_{i-1,j}$ 转移而来。那么会有 $r-j$ 次判定到 $i$，$i$ 每次都不出的概率为 $(1-p_i{)}^{r-j}$。
   $$f_{i,j}\leftarrow f_{i-1,j}(1-p_i{)}^{r-j}$$

于是可以做到 $\mathcal{O}(nr)$ 的时间复杂度解决本题。

代码

#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
 
const int N = 225;
const double eps = 1e-13;
 
int n, r, d[N];
double p[N];
double pw[N][N], f[N][N], P[N];
 
void solve() {
    scanf("%d%d", &n, &r);
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        scanf("%lf%d", &p[i], &d[i]);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        pw[i][0] = 1;
        for (int j = 1; j <= r; ++j) {
            pw[i][j] = pw[i][j - 1] * (1 - p[i]);
            f[i][j] = 0;
        }
    }
    f[1][0] = pw[1][r], f[1][1] = P[1] = 1 - f[1][0];
    for (int i = 2; i <= n; ++i)
        for (int j = 0; j <= min(i, r); ++j) {
            f[i][j] = f[i - 1][j] * pw[i][r - j];
            if (j) f[i][j] += f[i - 1][j - 1] * (1 - pw[i][r - j + 1]);
        }
    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
        P[i] = 0;
        for (int j = 0; j <= min(i - 1, r); ++j)
            P[i] += f[i - 1][j] * (1 - pw[i][r - j]);
    }
    double ans = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        ans += P[i] * d[i];
    printf("%.10lf\n", ans + eps);
}
 
signed main() {
    int t; scanf("%d", &t);
    while (t--) solve();
    return 0;
}