[USACO18OPEN] Out of Sorts P 题解

前言

题目链接：洛谷。

其他题解十分生硬地给出了 t[] 的定义，本题解按照解题思路，层层递进，自然得出题目解法。

题意简述

以下是冒泡排序的一轮：

void bubble_sort(int val[], int l, int r) {
    for (int i = l; i < r; ++i)
        if (val[i] > val[i + 1])
            swap(val[i], val[i + 1]);
}

定义 $(p,p+1)$ 是 $\{a_n\}$ 的一个「分割点」当 $\underset{i=1}{\overset{p}{max}}{a}_i\le \underset{i=p+1}{\overset{n}{min}}{a}_i$。

以下是一个基于分治和冒泡排序的排序算法：

void qsort(int val[], int l, int r){
	if (l == r) return;
	do {
		bubble_sort(val, l, r);
		work_cnt += r - l + 1;
	} while (!check(val, l, r));
	// check(val, l, r) 返回 val[l~r] 中是否存在「分割点」
	divide_and_qsort_each_piece(val, l, r);
	// 将 val[l~r] 按照「分割点」分割成若干子问题，并递归调用 qsort
}

给你长度为 $n$ 的序列 $\{a_n\}$，求运行 qsort(a, 1, n) 后，全局变量 work_cnt 的值。

$n\le {10}^5$。

题目分析

显然我们需要分析冒泡排序的性质。

一轮冒泡排序后，肯定会产生一个「分割点」。这是由于一轮冒泡排序后，序列中的最大值被冒泡到了最右侧，所以产生了一个「分割点」。所以那个 do...while 实际没有用处。

然后发现整个序列在排序过程中比较鬼畜，难以发现性质。于是考虑转变计数视角，求每一个元素被 bubble_sort 了多少次，答案就是每个元素答案之和。

对于一个元素，只要它没有到达最终位置，它会一直被 bubble_sort，这在时间轴上体现为一段前缀，我们只要求出在什么时候这个元素不会被 bubble_sort 即可。发现，每个元素唯一的递归出口 l == r 的实际含义为，该元素左右两侧都出现了「分割点」，于是问题似乎可以被进一步规约到每一个「分割点」出现的时刻。

一个「分割点」出现，当该在它左侧的元素都在它左侧，该在它右侧的元素都在它右侧了。这么想是因为我们冒泡排序的经典思考方式，关注于每一个元素的移动。我们有一个经典结论：

经典结论：

对于一个元素，倘若它想要向左移动，它在一轮冒泡中会恰向左移动一个位置。

考虑在一轮冒泡中，它会且只会和其左侧的最大值 swap，然后向左移动一个位置。

所以我们考虑在某一个「分割点」右侧的元素，什么时候到这个「分割点」左侧。所需的冒泡轮数，根据我们的结论，就是它到「分割点」的距离。那么对于所有在它右侧且想要跑到它左侧的元素，求出位置最靠右的元素的位置，即可求出这个「分割点」出现的时间。

接下来随便求了。给出一种可能的实现方式：设 $b_i$ 表示排序后的序列 $a^{\prime }$ 的第 $i$ 个元素 $a_i^{\prime }$ 为原序列 $a_{b_i}$，再设 ${\mathrm{mxR}}_i$ 表示 $1\sim i$ 中，目标位置最右在哪里。那么 $t_i={\mathrm{mxR}}_i-i$ 就是「分割点」$(i,i+1)$ 出现的时刻。倘若其值小于 $1$，说明该「分割点」一开始便存在，对 $1$ 取 $max$ 即可。答案根据我们的分析为 $\sum _{i=1}^{n}max\{t_{i-1},t_i\}$，其中 $t_0=1$。$b_i$ 排序一下即可，很好求，不难发现 ${\mathrm{mxR}}_i$ 即为 $b_i$ 的前缀最大值。

时间复杂度 $\mathcal{O}(n\log n)$，瓶颈在于一开始的排序。

代码

实际实现起来很短。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
 
const int N = 100010;
 
int n, a[N], b[N], t[N];
long long ans;
 
signed main() {
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        scanf("%d", &a[i]);
        b[i] = i;
    }
    sort(b + 1, b + n + 1, [] (int x, int y) -> bool {
        if (a[x] == a[y]) return x < y;  // notice this detail
        return a[x] < a[y];
    });
    t[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        b[i] = max(b[i], b[i - 1]);  // mxR[i]
        t[i] = b[i] - i;
        if (t[i] <= 0) t[i] = 1;
    }
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        ans += max(t[i], t[i - 1]);
    printf("%lld", ans);
    return 0;
}