[COCI2012-2013#2] INFORMACIJE 题解

前言

题目链接：洛谷。

题意简述

你需要构造一个 \(1 \sim n\) 的排列 \(a\)，满足 \(m\) 个条件，格式如下：

• 1 x y v：\(\max \limits _ {i = l} ^ r a_i = v\)。

• 2 x y v：\(\min \limits _ {i = l} ^ r a_i = v\)。

题目分析

首先这个最值很难受，考虑能不能转化成我们喜欢的二元关系。比如，当 \([l, r]\) 的最值为 \(v\) 时，说明 \(v\) 必须出现在这段区间内。再思考一下，对于最大值，为了保证这段区间的最大值是 \(v\)，那么大于 \(v\) 的数就不能出现在这段区间内，最小值同理。把前者“必须出现”转化为补集的“不能出现”，这样我们处理出了对于每一个值 \(v\) 不能出现的位置。

有什么用呢？我在膜尼赛上用爆搜骗分。直接骗肯定不好看，这时候就需要一些常见的剪枝优化。对于限制类题目，我们把限制多的先搜索能节约不少时间。此外，寻找到一个没有确定的位置可以使用双向链表优化。预处理区间覆盖转化为差分。能够得到 \(86\) 分的好成绩。

话说回来，这么搜肯定是错的，那还有什么做法呢？我们必须敏感地注意到位置和值的特殊二元关系。到了最后，每一个位置一定一一对应一个值，将“不能”反转得到若干“可能”的匹配关系，最后的对应一定这些可能匹配中的一种。

不妨继续抽象模型。有红黄两种颜色的小球各 \(n\) 个，我们知道了每一个红球可能和哪些黄球匹配，找到一种匹配方式，使得红黄球一一对应。这不就是二分图的裸题了吗？我们将可能得匹配方式看作是值向位置的连边，最终的答案就是位置对应的那个值。

注意到存在无解的情况，此时说明二分图不存在完美匹配，判断即可。

时间复杂度理论上来说可以优化到：\(\Theta(m \log n + n^{\frac{5}{2}})\)，但是可能比不过常数小的 \(\Theta(nm + n ^ 3)\)？

代码

#include <cstdio>

#define isdigit(x) ('0' <= x && x <= '9')
inline void read(int &x) {
    x = 0; char ch = getchar();
    for (; !isdigit(ch); ch = getchar());
    for (;  isdigit(ch); ch = getchar()) x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48);
}

const int N = 220;

int n, m, val[N], mi[N], mx[N], cant[N][N];
int to[N * N], nxt[N * N], head[N], tot;
int vis[N], timer, mark[N];

bool dfs(int now) {
    for (int i = head[now]; i; i = nxt[i]) {
        int to = ::to[i];
        if (vis[to] != timer) {
            vis[to] = timer;
            if (!mark[to] || dfs(mark[to])) {
                mark[to] = now;
                return true;
            }
        }
    }
    return false;
}

signed main() {
    read(n), read(m);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) mx[i] = n;
    for (int i = 1, op, l, r, v; i <= m; ++i) {
        read(op), read(l), read(r), read(v);
        ++cant[v][1], --cant[v][l];
        ++cant[v][r + 1], --cant[v][n + 1];
        for (int j = l; j <= r; ++j) {
            if (op == 1)
                v < mx[j] && (mx[j] = v);
            else
                v > mi[j] && (mi[j] = v);
        }
    }
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        for (int j = 1; j <= n; ++j) {
            cant[i][j] += cant[i][j - 1];
            if (mi[j] <= i && i <= mx[j] && !cant[i][j]) {
                to[++tot] = j;
                nxt[tot] = head[i];
                head[i] = tot;
            }
        }
    }
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        ++timer;
        if (!dfs(i)) return puts("-1"), 0;
    }
    for (int i = 1; i <= n; ++i) printf("%d ", mark[i]);
    return 0;
}

总结 & 反思

说实话，都想到爆搜，想不到二分图匹配确实不应该，应该归根结底是二分图模型不熟悉了。

二分图是处理两种不同类型的物件之间的对应关系。对于本题，一个排列的构造，我们如果能找出值和下标的二元关系，就能建立二分图，跑匹配，最后输出匹配的方案。