[POI2012] OKR-A Horrible Poem 题解

前言

题目链接：洛谷。

题意简述

给出长度为 $n$（$n\le 5\times {10}^5$）的字符串 $\mathtt{\text{S}}$，$q$（$q\le 2\times {10}^6$）询问某一子串的最短循环节。$\mathtt{\text{A}}$ 是 $\mathtt{\text{B}}$ 的循环节，当 $\mathtt{\text{B}}$ 可以由 $\mathtt{\text{A}}$ 重复若干次拼接成。

题目分析

联想到 KMP 求循环节的过程，如果 $len$ 是 $\mathtt{\text{S}}$ 的循环节长度，那么一定有 $\mathtt{\text{S}}[1\dots n-len]=\mathtt{\text{S}}[len+1\dots n]$，以及 $len\mid n$。当然，只有本身为循环节的话，$len=n$。

字符串相等的过程，可以用字符串哈希 $\mathrm{\Theta }(n)\sim \mathrm{\Theta }(1)$ 地搞。但是枚举 $len$ 是 $\mathrm{\Theta }(\sqrt{n})$ 的，时间复杂度 $\mathrm{\Theta }(n+q\sqrt{n})$，考虑优化。

发现 $q$ 不和 $n$ 同阶，所以想到预处理出每个数的所有因子。预处理用埃氏筛，时间复杂度 $\mathrm{\Theta }(n\log n)$，枚举的时候取决于因子最多的个数，记为 $k$，在本题数据范围，应为 $k=200$。时间复杂度 $\mathrm{\Theta }(n\log n+qk)$，能过本题。

当然还可以继续优化。

发现，如果 $len$ 是答案，那么 $k\cdot len$ 肯定也是答案。而 $len=n$ 肯定是答案。所以考虑反过来计算。

即，将 $n$ 分解成 $\prod p_i^{k_i}$，答案 $len=\prod p_i^{k_i^{\prime }}$。初始 $k_i^{\prime }=k_i$，那么每次就是尝试将一个 $k_i^{\prime }\leftarrow k_i^{\prime }-1$，如果得到的 $len$ 是一个合法循环节长度，那就减掉。

由于 $k_i^{\prime }$ 之间互不影响，从小的质因数开始尝试。记 $f(x)$ 表示 $x$ 的最小质因数。设 $ans=len$，然后循环判断 $\frac{ans}{f(len)}$ 能否成为新的答案，可以就让 $ans\leftarrow \frac{ans}{f(len)}$。然后 $len\leftarrow \frac{len}{f(len)}$。直到 $len=1$。这里 $len$ 和 $f(len)$ 就是在不断搞最小质因数的过程。

预处理可以用线性筛 $\mathrm{\Theta }(n)$ 地搞。查询的时候，时间复杂度是 $\mathrm{\Theta }(\sum k_i)\le \mathcal{O}(\log n)$。总的时间复杂度 $\mathcal{O}(n+q\log n)$。

代码

略去了快读快写。卡卡常最优解。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
 
int n, q;
char str[500010];
 
using ull = unsigned long long;
int hav[500010], pri[500010], pcnt;
ull hsh[500010], pw[500010];
 
inline ull get_hash(int l, int r) {
	if (l > r) return 0;
	return hsh[r] - hsh[l - 1] * pw[r - l + 1];
}
 
signed main() {
	fread(buf, 1, MAX, stdin);
	read(n);
	for (int i = 2; i <= n; ++i) {
		if (!hav[i]) hav[i] = pri[++pcnt] = i;
		for (int j = 1; j <= pcnt && i * pri[j] <= n; ++j) {
			hav[i * pri[j]] = pri[j];
			if (i % pri[j] == 0) break;
		}
	}
	pw[0] = 1;
	for (register int i = 1; i <= n; ++i) {
		do str[i] = getchar(); while (str[i] < 'a' || str[i] > 'z');
		hsh[i] = (hsh[i - 1] * 131 + str[i] - 'a' + 11);
		pw[i] = pw[i - 1] * 131;
	}
	read(q);
	for (register int i = 1, l, r; i <= q; ++i) {
		read(l), read(r);
		if (get_hash(l, r - 1) == get_hash(l + 1, r)) {
			write(1), putchar('\n');
			continue;
		}
		int ans = r - l + 1, len = ans;
		while (len > 1) {
			if (get_hash(l, r - ans / hav[len]) == get_hash(l + ans / hav[len], r))
				ans /= hav[len];
			len /= hav[len];
		}
		write(ans), putchar('\n');
	}
	fwrite(obuf, 1, o - obuf, stdout);
	return 0;
}