[POI2012] PRE-Prefixuffix 题解

前言

题目链接：洛谷。

题意简述

给出长为 \(n\) 的串 \(\texttt{S}\)。求最大的 \(l\) 满足：

\[2l \leq n \land \texttt{S}[1 \ldots l] \doteq \texttt{S}[n - l + 1 \ldots n] \]

其中 \(\doteq\) 表示循环相同。

题目分析

看到循环相同，套路化想到，两个字符串一定可以表示成 \(\texttt{AB}\) 和 \(\texttt{BA}\) 的形式。那么 \(\texttt{S}\) 就能表示成 \(\texttt{ABTBA}\)。那么可以枚举两侧的 \(\texttt{A}\)，接下来问题变成了求 \(\texttt{S}\) 扣掉两侧的 border。

求 border，想到每次线性跑一遍 KMP，但是这样是 \(\Theta(n^2)\)，能够得到 \(50 \%\) 的部分分。考虑优化。

发现 \(i \sim n - i + 1\) 的 border 和 \(i - 1 \sim n - i\) 的 border 在某些情况下有很大一部分是重合的。进一步发现，从前者到后者，border 最多增加 \(2\)，如图。

淡蓝色的是 \(i \sim n - i + 1\) 的 border，\(i - 1 \sim n - i\) 的 border 在此基础上多了红色和绿色部分。

所以考虑递推。记 \(f_i\) 表示 \(\texttt{S}\) 删去前 \(i\) 个和后 \(i\) 个字符的 border。边界 \(f_{\Big \lfloor \cfrac{n}{2} \Big \rfloor + 1} = 0\)。每次 \(f_i\) 初始值设置成 \(f_{i + 1} + 2\)，当然需要和 \(\Big \lfloor \cfrac{n}{2} \Big \rfloor - i\) 取个 \(\min\)。然后一直让 \(f_i \gets f_i - 1\)，直到满足找到一个长为 \(f_i\) 的 border，这样显然是最优的。

至于判断是否为 border，使用哈希即可。

时间复杂度的话，把 \(f\) 看成不断 \(+2\) 和 \(-1\)，前者次数不会超过 \(\Big \lfloor \cfrac{n}{2} \Big \rfloor\)，所以是 \(\Theta(n)\) 的。

代码

// #pragma GCC optimize(3)
// #pragma GCC optimize("Ofast", "inline", "-ffast-math")
// #pragma GCC target("avx", "sse2", "sse3", "sse4", "mmx")
#include <iostream>
#include <cstdio>
#define debug(a) cerr << "Line: " << __LINE__ << " " << #a << endl
#define print(a) cerr << #a << "=" << (a) << endl
#define file(a) freopen(#a".in", "r", stdin), freopen(#a".out", "w", stdout)
#define main Main(); signed main() { return ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), Main(); } signed Main
using namespace std;

const int mod = 1314736520;
const int bas = 131;

inline int add(int a, int b) {
	return a + b >= mod ? a + b - mod : a + b;
}

inline int sub(int a, int b) {
	return a - b < 0 ? a - b + mod : a - b;
}

inline int mul(int a, int b) {
	return 1ll * a * b % mod;
}

int n, hsh[1000010], pw[1000010];
char str[1000010];

int f[1000010], ans;

inline int gethash(int l, int r) {
	return l > r ? 0 : sub(hsh[r], mul(hsh[l - 1], pw[r - l + 1]));
}

signed main() {
	scanf("%d%s", &n, str + 1), pw[0] = 1;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		hsh[i] = add(mul(hsh[i - 1], bas), str[i]);
		pw[i] = mul(pw[i - 1], bas);
	}
	for (int i = n / 2; i >= 1; --i) {
		int res = min(f[i + 1] + 2, n / 2 - i);
		while (res >= 1 && gethash(i + 1, i + res) != gethash(n - i - res + 1, n - i))
			--res;
		f[i] = res;
	}
	for (int i = 1; i <= n / 2; ++i)
		if (gethash(1, i) == gethash(n - i + 1, n))
			ans = max(ans, i + f[i]);
	printf("%d\n", ans);
	return 0;
}