[BJOI2016] IP地址 题解
前言
来个不一样的做法,用到了 Trie 树和主席树,并且是可爱的在线算法。
题目链接:洛谷。
题目分析
对于一个查询 \(\texttt{ip}\),只考虑所有前缀字符串规则。以时间建里横轴,匹配长度为纵轴,建出坐标系。易知坐标系中有 \(\Theta(n)\) 条线段。对于某一时刻 \(t\),根据题意,生效的匹配就是越过 \(t\) 的纵坐标最大的那条线段对应的前缀。用样例画张图吧。
红色的线代表每一个时刻生效的匹配,绿色框内就是发生变化的时刻,分别是第 \(3\) 次操作后,第 \(4\) 次操作后,第 \(5\) 次操作后。
考虑使用 01-Trie 解决前缀。从根节点往下一直到匹配不上,每次将这个前缀出现的所有时段赋值为这个前缀的长度,就得到了红色的折线。最后查询 \([l, r]\) 内红色的线的纵坐标变化了多少次。
这个非常线段树啊,区间覆盖,合并信息也很容易,或者用珂朵莉树也可以。但是,直接这样做时间上是错误的,为什么?因为枚举这个前缀出现的所有时段是 \(\Theta(n)\) 的,可以轻松卡到 \(\Theta(nq \log n)\)。但是,原数据太水了,可以见这个帖子。
那么,做法呼之欲出了,预处理的时候把线段树可持久化就行了。但是要注意内存回收,注意结构体内存对齐,或者使用 #pragma pack(1)
,空间有些紧的。
这个算法时间复杂度是 \(\Theta((n + q)(w + \log n))\),空间复杂度是 \(\Theta(n (w + \log n))\)。
代码
略去了快读。
// #pragma GCC optimize(3)
// #pragma GCC optimize("Ofast", "inline", "-ffast-math")
// #pragma GCC target("avx", "sse2", "sse3", "sse4", "mmx")
#include <iostream>
#include <cstdio>
#define debug(a) cerr << "Line: " << __LINE__ << " " << #a << endl
#define print(a) cerr << #a << "=" << (a) << endl
#define file(a) freopen(#a".in", "r", stdin), freopen(#a".out", "w", stdout)
#define main Main(); signed main(){ return ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), Main(); } signed Main
using namespace std;
#include <vector>
#include <bitset>
int n, q;
struct node{
int son[2];
vector<pair<int, int> > tim;
} tree[100010 * 20];
int tot;
void insert(char str[], int timer){
int now = 0;
for (int i = 0; str[i]; ++i){
int t = str[i] - '0';
if (!tree[now].son[t]) tree[now].son[t] = ++tot;
now = tree[now].son[t];
}
tree[now].tim.push_back({timer, n});
}
void erase(char str[], int timer){
int now = 0;
for (int i = 0; str[i]; ++i){
int t = str[i] - '0';
now = tree[now].son[t];
}
int s = tree[now].tim.back().first;
tree[now].tim.pop_back();
tree[now].tim.push_back({s, timer});
}
struct President_Segment_Tree{
struct node{
int lson, rson;
int val, lval, rval;
};
static node tree[200010 * 80];
static int tot;
static bitset<200010 * 80> tag;
static inline void init(){
tot = 0;
}
static inline int newNode(){
int res = ++tot;
tree[res] = {0, 0, 0, 0, 0};
return res;
}
static inline int copyNode(int idx){
int res = newNode();
return tree[res] = tree[idx], tag[res] = tag[idx], res;
}
static inline void pushup(int idx){
tree[idx].lval = tree[tree[idx].lson].lval;
tree[idx].rval = tree[tree[idx].rson].rval;
tree[idx].val = tree[tree[idx].lson].val + tree[tree[idx].rson].val + (tree[tree[idx].lson].rval != tree[tree[idx].rson].lval);
}
static inline void pushtag(int idx, int v){
tag.set(idx);
tree[idx].lval = tree[idx].rval = v;
tree[idx].val = 0;
}
static inline void pushdown(int idx){
if (!tag[idx]) return;
pushtag(tree[idx].lson = copyNode(tree[idx].lson), tree[idx].lval);
pushtag(tree[idx].rson = copyNode(tree[idx].rson), tree[idx].lval);
tag.reset(idx);
}
int root[100010 * 20];
void build(int &idx, int l, int r){
idx = newNode();
if (l == r) return;
int mid = (l + r) >> 1;
build(tree[idx].lson, l, mid);
build(tree[idx].rson, mid + 1, r);
pushup(idx);
}
void modify(int &idx, int trl, int trr, int l, int r, int val){
if (trl > r || trr < l) return;
idx = copyNode(idx);
if (l <= trl && trr <= r) return pushtag(idx, val);
pushdown(idx);
int mid = (trl + trr) >> 1;
modify(tree[idx].lson, trl, mid, l, r, val);
modify(tree[idx].rson, mid + 1, trr, l, r, val);
pushup(idx);
}
struct Q{ int val, lval, rval; };
Q add(const Q & a, const Q & b){
if (a.val == -1) return b;
if (b.val == -1) return a;
return {
a.val + b.val + (a.rval != b.lval),
a.lval, b.rval
};
}
Q query(int idx, int trl, int trr, int l, int r){
if (trl > r || trr < l) return {-1, 0, 0};
if (l <= trl && trr <= r) return {tree[idx].val, tree[idx].lval, tree[idx].rval};
pushdown(idx);
int mid = (trl + trr) >> 1;
return add(query(tree[idx].lson, trl, mid, l, r), query(tree[idx].rson, mid + 1, trr, l, r));
}
} yzh;
President_Segment_Tree::node President_Segment_Tree::tree[200010 * 80];
int President_Segment_Tree::tot;
bitset<200010 * 80> President_Segment_Tree::tag;
void dfs(int now, int dpt = 0){
for (const auto & [s, e] : tree[now].tim){
yzh.modify(yzh.root[now], 1, n, s, e, dpt);
}
tree[now].tim.clear();
tree[now].tim.shrink_to_fit();
if (tree[now].son[0]){
yzh.root[tree[now].son[0]] = yzh.root[now];
dfs(tree[now].son[0], dpt + 1);
}
if (tree[now].son[1]){
yzh.root[tree[now].son[1]] = yzh.root[now];
dfs(tree[now].son[1], dpt + 1);
}
}
signed main(){
read(n, q);
for (int i = 1; i <= n; ++i){
static char op[5], str[50];
read(op, str);
if (*op == 'A') insert(str, i);
else erase(str, i - 1);
}
dfs(0);
for (int i = 1, l, r; i <= q; ++i){
static char str[50];
read(str, l, r);
int now = 0;
for (int j = 0; str[j]; ++j){
int t = str[j] - '0';
if (!tree[now].son[t]) break;
now = tree[now].son[t];
}
write(yzh.query(yzh.root[now], 1, n, l, r).val, '\n');
}
return 0;
}
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