第6章 数论和线性代数

6.1 初级

（1）模运算

• Java计算规则：先按正整数求余，然后加上符号，符号与被除数保持一致
• Python计算规则：向下对齐 $123//(-10)=-13$，故 $123\mathrm{\%}(-10)=123-(-10)\times (-13)=-7$

def fastMul(num1: int, num2: int, mod: int) -> int:
    """使用快速乘法 返回 num1 * num2 % mod 的结果"""
    num1 %= mod; num2 %= mod; res = 0
    while num2 > 0:
        if num2 & 1:
            res = (res + num1) % mod
        num1 = (num1 + num1) % mod
        num2 >>= 1
    return res

（2）快速幂

def fastPow(a: int, n: int, mod: int) -> int:
    """使用快速幂计算 a ^ n % mod 的结果"""
    a %= mod; res = 1
    while n > 0:
        if n & 1:
            res = (res * a) % mod
        a = (a * a) % mod
        n >>= 1
    return res

• lanqiao 1181 数的幂次

import java.util.Scanner;

public class Main {
	public static void main(String[] args) {
		Scanner sc = new Scanner(System.in);
		long T = sc.nextLong(), N, M, P;
		for(int i = 0; i < T; i++) {
			N = sc.nextLong();
			M = sc.nextLong();
			P = sc.nextLong();
			System.out.println(fastPow(N, M, P));
		}
		sc.close();
	}

	static long fastPow(long n, long m, long p) {
		n %= p; long ans = 1;
		while(m > 0) {
			if((m & 1) == 1)
				ans = ans * n % p;
			n = n * n % p;
			m >>= 1;
		}
		return ans;
	}
}

（3）高斯消元

• luogu 3389 高斯消元法

• lanqiao 1349 n元一次线性方程组

import java.util.Scanner;

public class Main {
	static double eps = 1e-7;
	static double temp;  // 临时变量
	static boolean flag = true;
	public static void main(String[] args) {
		Scanner sc = new Scanner(System.in);
		int n = sc.nextInt();
		double[][] a = new double[105][105];
		for(int i = 1; i <= n; i++) {
			for(int j = 1; j <= n + 1; j++)
				a[i][j] = sc.nextInt();
		}

		for(int i = 1; i <= n && flag; i++) {  // 枚举每一列
			int idx = i;  // 记录最大系数的行标
			for(int j = i + 1; j <= n; j++) {
				if(Math.abs(a[j][i]) > Math.abs(a[idx][i]))
					idx = j;
			}
			for(int j = i; j <= n + 1; j++) {  // 交换两行
				temp = a[i][j]; a[i][j] = a[idx][j]; a[idx][j] = temp;
			}
			if(Math.abs(a[i][i]) < eps) {
				System.out.println("No Solution");
				flag = false; break;
			}
			for(int j = n + 1; j >= i; j--)  // 系数变为1
				a[i][j] /= a[i][i];
			for(int j = 1; j <= n; j++) {  // 消去其他行的主元
				if(j == i) continue;
				temp = a[j][i] / a[i][i];
				for(int k = i; k <= n + 1; k++) {
					a[j][k] -= a[i][k] * temp;
				}
			}
		}
		for(int i = 1; i <= n && flag; i++) {
			System.out.println(String.format("%.2f", a[i][n + 1]));
		}
	}
}

n = int(input())
a = [list(map(int, input().split())) for _ in range(n)]
eps = 1e-7  # 定义精度
flag = True
for i in range(n):  # 枚举每一列
    idx = i  # 记录第 i 列最大系数所在行数
    for j in range(i + 1, n):
        if abs(a[j][i]) > abs(a[idx][i]):
            idx = j
    # 交换第 i 行和第 idx 行
    for j in range(i, n + 1):
        a[i][j], a[idx][j] = a[idx][j], a[i][j]
    if abs(a[i][i]) < eps:
        print("No Solution")  # 无解
        flag = False; break
    if not flag:
        break
    for j in range(n, i - 1, -1):  # 将系数变为 1
        a[i][j] /= a[i][i]
    for j in range(n):  # 消去主元所在的其他行
        if i == j: continue
        temp = a[j][i] / a[i][i]
        for k in range(i, n + 1):
            a[j][k] -= a[i][k] * temp
if flag:
    for i in range(n):
        print("{:.2f}".format(a[i][n]))

（4）GCD和LCM

• luogu 2152 SuperGCD

import java.util.Scanner;
import java.math.BigInteger;

public class Main {
	public static void main(String[] args) {
		Scanner sc = new Scanner(System.in);
		BigInteger a = sc.nextBigInteger();
		BigInteger b = sc.nextBigInteger();
		System.out.println(a.gcd(b));
	}
}

• 裴蜀定理 $ax+by=gcd(a,b)$

（5）素数（质数）

⭐ 判定
1 试除法

from math import isqrt

def isPrime(num: int) -> bool:
    if num <= 1: return False
    for i in range(2, isqrt(num) + 1):
        if num % i == 0:
            return False
    return True

2 Miller-Rabin算法

• lanqiao 1152 质数判定

from random import randint

def witness(a: int, n: int) -> bool:
    # 计算 u 和 t
    u, t = n - 1, 0
    while u & 1 == 0:
        u >>= 1; t += 1
    x1 = pow(a, u, n)  # 进行二次探测
    for i in range(t):
        x2 = pow(x1, 2, n)
        if x2 == 1 and x1 != 1 and x1 != n - 1:
            return True  # 二次探测定理
        x1 = x2
    return x1 != 1  # 费马小定理

def millerRabin(n: int, k: int) -> bool:
    """判定 n 是否为素数"""
    if n == 2: return True
    if n <= 1 or n % 2 == 0: return False
    for i in range(min(n, k)):  # 进行测试
        # 返回一个 [2, n - 1] 之间的随机整数
        a = randint(2, n - 1)
        if witness(a, n):
            return False
    return True

• hdu 2138 How many prime numbers

import java.util.Scanner;
import java.math.BigInteger;

public class Test {	
	public static void main(String[] args) {
		Scanner sc = new Scanner(System.in);
		int N = sc.nextInt(), cnt = 0;
		BigInteger a;
		for(int i = 0; i < N; i++) {
			a = sc.nextBigInteger();
			cnt += a.isProbablePrime(1) ? 1 : 0;
		}
		System.out.println(cnt);
	}
}

⭐ 筛选
1 埃式筛

from math import isqrt

def eSieve(n: int) -> list[int]:
    prime, vis = list(), [True] * (n + 1)
    vis[0] = vis[1] = False  # 0 1 不是素数
    for i in range(2, isqrt(n) + 1):  # 优化 1
        if vis[i]:  # 当前数是素数
            for j in range(i * i, n + 1, i):  # 优化 2
                vis[j] = False  # 标记合数
    for i in range(2, n + 1):
        if vis[i]: prime.append(i)  # 收集素数
    return prime

2 欧拉筛

def eulerSieve(n: int) -> list[int]:
    prime, vis = list(), [True] * (n + 1)
    vis[0] = vis[1] = False  # 0 1 不是素数
    for i in range(2, n + 1):
        if vis[i]:  # 当前数是素数
            prime.append(i)
        for j in prime:  # 用得到的素数去筛后面的数
            if j * i > n: break  # 超出范围
            vis[j * i] = False
            if i % j == 0: break  # 避免重复筛
    return prime

⭐ 质因数分解
1 最小质因数（欧拉筛）

def eulerSieve(n: int) -> list[int]:
    # prime 记录素数 vis 记录每个数的最小质因数
    prime, vis = list(), [0] * (n + 1)
    for i in range(2, n + 1):
        if vis[i] == 0:  # 当前数是素数
            vis[i] = i; prime.append(i)
        for j in prime:  # 对于已经找到的素数
            if j * i > n: break
            vis[j * i] = j
            if i % j == 0: break
    return vis

2 试除法

from math import isqrt

def factor(n: int) -> list[tuple]:
    p = list()  # 记录质因子和指数
    for i in range(2, isqrt(n) + 1):
        cnt = 0  # 记录指数
        while n % i == 0:
            cnt += 1; n //= i
        if cnt:  # 记录质因子和指数
            p.append((i, cnt))
    if n > 1:  # 没有除尽是素数
        p.append((n, 1))
    return p

3 pollard_rho启发式方法

from random import randint
from math import gcd

def witness(a: int, n: int) -> bool:
    # 计算 u 和 t
    u, t = n - 1, 0
    while u & 1 == 0:
        u >>= 1; t += 1
    x1 = pow(a, u, n)  # 进行二次探测
    for i in range(t):
        x2 = pow(x1, 2, n)
        if x2 == 1 and x1 != 1 and x1 != n - 1:
            return True  # 二次探测定理
        x1 = x2
    return x1 != 1  # 费马小定理

def millerRabin(n: int, k: int) -> bool:
    """判定 n 是否为素数"""
    if n == 2: return True
    if n <= 1 or n % 2 == 0: return False
    for i in range(min(n, k)):  # 进行测试
        # 返回一个 [2, n - 1] 之间的随机整数
        a = randint(2, n - 1)
        if witness(a, n):
            return False
    return True

def pollardRho(n: int) -> int:
    i, k = 1, 2  # 记录 x 和 y 对应的下标
    # 初始化 c[1, n - 1] x[0, n - 1] y
    c, x = randint(1, n - 1), randint(0, n - 1)
    y = x
    while True:  # 寻找因数
        x = ((x * x) % n + c) % n  # x * x 可能溢出使用快速乘
        i += 1  # x 进行了更新
        d = gcd(abs(x - y), n)  # 计算最大公约数
        if d != 1 and d != n:  # 找到因数
            return d
        if y == x: return n  # 回路
        if i == k:  # 更新 y
            y = x; k <<= 1

def findfac(n: int) -> None:
    # 寻找 n 的所有质因子
    if millerRabin(n, 50):  # 是质因数
        factor[n] = factor.get(n, 0) + 1
        return
    p = n
    while p >= n:  # 找到一个因数
        p = pollardRho(p)
    findfac(p)  # 寻找质因数
    findfac(n // p)  # 寻找质因数

6.2 中级

（1）矩阵的应用

（2）异或空间线性基

（3）0/1分数规划

（4）线性丢番图方程

（5）同余

（6）威尔逊定理

（7）整除分块（数论分块）

6.3 高级

（1）积性函数

（2）欧拉函数

（3）狄利克雷卷积

（4）莫比乌斯函数和莫比乌斯反演

（5）杜教筛