AT_arc151 题解 & 数组字典序大小比较求方案数

很好的一题，做的时候没有一点思路，看了题解。看来做过的题目还是太少了，记录一下经验。

注意到 \(1\le N\le2\times 10^5\) 和 \(1\le M \le 10^9\)，如此庞大的数据，dp 是肯定不行的。

当字典序 \(A<B\) 时，当且仅当存在 \(i\)，使得 \(\forall x \in [1,i)\)，\(A_x=B_x\) 且 \(A_i<B_i\)。那么我们对于 \(\forall i \in [1,n]\) 的答案求和即可。

先考虑当 \(i=1\) 时如何计算答案。首先 \(i=P_i\) 时答案为 \(0\)；\(i\neq P_i\) 时，除了这两位其它都能随便选，方案数为 \(m^{n-2}\)。当第 \(i\) 位为 \(x\) 时，第 \(P_i\) 位能选 \([1,x)\) 的所有数，所以方案数为 \(\frac{m(m-1)}{2}\)。根据乘法原理，总方案数为 \(m^{n-2}\times \frac{m(m-1)}{2}=\frac{m^{n-1}\times (m-1)}{2}\)。

现在把 \(i\) 推广，因为 \(\forall x \in [1,i)\)，\(A_x=A_{P_x}\)，所以可以用并查集将 \(x\) 和 \(P_x\) 连通，对于在同一个连通块中的点，它们的值时相同的。那么方案数即为 \(\frac{m^{cnt-1}\times (m-1)}{2}\)，其中 \(cnt\) 为连通块个数。

代码并不难打，注意分母的 \(2\) 要用逆元即可。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=2e5+10,mod=998244353;
int n,m,cnt,ans;
int a[N],f[N];
int find(int k)
{
	return f[k]==k?k:f[k]=find(f[k]);
}
int qpow(int x,int y)
{
	int ans=1;
	while(y)
	{
		if(y%2)ans*=x,ans%=mod;
		x*=x,x%=mod,y/=2;
	}
	return ans;
}
signed main()
{
	const int k=qpow(2,mod-2);
	cin>>n>>m;
	cnt=n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		cin>>a[i],f[i]=i;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int x=find(i),y=find(a[i]);
		if(x==y)continue;
		ans+=qpow(m,cnt-1)*(m-1)%mod*k%mod;
		ans%=mod;
		f[x]=y,cnt--;
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}