HDU-2204- Eddy’s爱好 （容斥原理）

题意

给出一个数n，问1-n中有多少个数可以表示为m^k，m,k均为正整数且k>1

(1<=n<=1^18)

题解

(一开始^以为是异或懵逼了好久....)

额，显然1这个数比较讨厌1的多少次方都得1，对答案的贡献为1，最后加上就可以了。

然后，我们发现x^4=(x^2)^2四次方可以用平方的平方代替，我们只枚举质数次方，然后用n^(1/x)等于x次方在n之内的数的个数（这个东西会有精度问题）。

就可以求出质数次方在1到n之内的数有多少。但是，发现(x^2)^3==(x^3)^2，(x^2)^3（或者说(x^3)^2）被算了两次。

这时，就用到容斥原理了。因为2^60>1e18所以质数次方考虑到59，又因为2*3*5*7=210>60，所以容斥时容斥到三个数就行了。

（容斥原理居然是小学奥数4大定理之一）

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
long long prime[20]={0,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59};
long long n,ans;
void dfs(long long now,long long num,long long res,long long k){
    if(res==0){
        long long tmp=pow(n,1.0/num);
        if(pow(tmp,(double)num)>n) tmp--;
        tmp--;
        if(tmp>0){
            if(k&1)ans+=tmp;
            else ans-=tmp;
        }
        return;
    }
    if(now>17)return;
    if(num*prime[now]<60)dfs(now+1,num*prime[now],res-1,k);
    dfs(now+1,num,res,k);
}
int main(){
    while(scanf("%lld",&n)!=EOF){
        ans=0;
        for(long long i=1;i<=3;i++)dfs(1,1,i,i);
        printf("%lld\n",ans+1);
    }
    return 0;
}