使用均摊分析证明Splay复杂度

使用均摊分析证明Splay复杂度

（PS：终于知道了二叉搜索树（$binary search tree$）为什么叫$BST$。）
平衡树的一种，靠着旋转来保证复杂度。

怎么旋转？这已经说烂了，我比较关心的是$splay$的复杂度怎么证明，和为什么一定要使用双旋操作。

（PS：$Splay$居然是$Tarjan$发明的)
本篇博客证明思路提供于Splay复杂度的证明
但是我看不懂然后借鉴了伸展树（Splay）复杂度证明
但是我看不懂然后借鉴了均摊分析 学习笔记
但是我看不懂然后借鉴了均摊分析简介
吐了
算法导论yyds

######以下证明并不严谨######

均摊分析

$Splay$证明的核心是均摊分析中的势能分析（其他分析方法见均摊分析简介）

设$c_i$为第i次操作的实际代价。$\phi_i$是第$i$次操作之后的势能。

设$c_i+\phi_i-\phi_{i-1}$是第$i$次操作的均摊代价。

则$n$次操作的均摊代价为$a_i=\sum_{i=1}^n(c_i+\phi_i-\phi_{i-1})=\sum_{i=1}^nc_i+\phi_n-\phi_{0}$

如果我们设的势能$\phi_i$都是不小于0的数，那么$\phi_n-\phi_0>=0$。特别地一般令$\phi_0=0$

如果我们算出了总均摊代价的上界，我们就可以得出真实代价的上界。

朴实地说：真实代价$<$均摊代价$\leq$均摊代价上界。

这样看均摊代价的上界一定是比真实代价的上界好求的，为什么加了势能之后反而好求了呢？带着问题思考。

Splay的均摊分析

设$\mu_x=log_2(size(x))$其中$size(x)$代表x子树的大小。

设$\phi_x=\sum_{i=1}^n\mu(i)$，任何时候$\phi_x$显然是小于$nlogn$的，这个上界十分宽松。

zig（zag）的分摊分析

因为两操作等价，这里只分析zig

显然均摊代价$a(i)=1+\mu(x')+\mu(y')-\mu(x)-\mu(y)$

这里的1并不是真的1，而是代表这一次旋转操作的真实代价，是一个常数。（下面证明中出现的1也是一样的）

$\because \mu(y)=\mu(x') \ \therefore a(i)=1+\mu(y')-\mu(x)$

$\because \mu(y')<\mu(x') \ \therefore a(i)<1+\mu(x')-\mu(x)$

zig-zig（zag-zag）的分摊分析

$a(i)=\mu(x')+\mu(y')+\mu(z')-\mu(x)-\mu(y)-\mu(z)+1$

$\because \mu(z)=\mu(x') \ \therefore a(i)=\mu(y')+\mu(z')-\mu(x)-\mu(y)+1$

$\because \mu(y')<\mu(x') \ ,\ \mu(x)<\mu(y) \ \therefore a(i)<1+\mu(x')+\mu(z')-2\mu(x)$

先把式子放在这里，转去证明$\mu(x)+\mu(z')-2\mu(x')<-1$

$\mu(x)+\mu(z')-2\mu(x')=log(\frac{size(x)}{size(x')})+log(\frac{size(z')}{size(x')})=log(\frac{size(x)size(z')}{size(x')^2})$

由上图可知$size(x')=size(x)+size(z')+1$即$size(x')>size(x)+size(z')$

$\therefore$原式$<log(\frac{size(x)size(z')}{(size(x)+size(z'))^2})<log(\frac{size(x)size(z')}{2size(x)size(z')})=-1$

$\therefore -1+2\mu(x')-\mu(x)-\mu(z')>0$

把$a(i)$加上这个正数显然有$a(i)<1+\mu(x')+\mu(z')-2\mu(x)-1+2\mu(x')-\mu(x)-\mu(z')$

这里注意了：式子中两个1不一样，第一个1是代表这个操作的真实代价是一个常数，第二个1就是实实在在的1，但是把这个1和势能的单位同时增大之后可以把前面的代表常数的1消掉。

故$a(i)<3(\mu(x')-\mu(x))$

zig-zag（zag-zig）的分摊分析

用跟上面几乎完全一样的方法可以得到：

$a(i)<2(\mu(x')-\mu(x))$

因为zig（zag）操作一个splay操作中只会用一遍这样整个一次splay操作地均摊复杂度为：
$1+\sum^n (\mu(x'_i)-\mu(x_i))=1+\mu(root)-\mu(x)$近似为$logn$

所以均摊复杂度为$logn$

这也解释了为什么不能一直单旋，因为那个常数1处理不掉，会使复杂度爆掉。

PS:我感觉这个证明大有问题，但又不知道哪里有问题