浅谈KMP算法
不想写题。不如写写算法总结？
KMP
前（che）言（dan）
以前都不知道 \(KMP\) 为什么叫 \(KMP\) ，现在才明白：该算法是三位大牛：D.E.Knuth、J.H.Morris和V.R.Pratt同时发现的，以其名字首字母命名。
\(KMP\) 可以在\(O(n+m)\)的时间复杂度内解决判定一个字符串\(A[1\)~ \(N]\)是否为字符串\(B[1\)~\(M]\)的字串的问题。
虽然Hash好像也可以线性解决这个问题
我会暴力
当然一个 \(O(nm)\) 的做法是非常显然的：直接枚举A串在B串的开始位置然后往后一位一位的比较。
考虑这样的做法有什么可以优化的地方？
考虑如下场景，某次匹配中按 \(O(nm)\) 的方法进行到这一步。
图中下方是串 \(A\) ,上方是串 \(B\) ，我们已经匹配到最后一个字符，匹配就快成功，但不幸的是最后一位出错了，我们又要从头匹配。
但是
我们发现绿框框住的部分匹配，但我们之后还要重新匹配浪费了时间。我们能不能记录一些信息，然后下次直接从绿框后面的位置开始匹配，这样不就节约了时间。
还有，能不能选出一些可能完成匹配的位置进行匹配，这样就不用从每一个位置匹配整个串，也节约了时间。
\(KMP\) 算法就这样诞生了
算法流程
KMP算法定义了一个next数组。
其中 \(next[i]\) 表示A中以i结尾的非前缀子串和A的前缀能匹配的最长长度。
那么这个东西有什么用啊?感觉好玄妙，为什么非要是非前缀？
别急我们先来说说\(next\)数组的求法。
我会 \(O(n^2)\) 的求法。。。
其实可以 \(O(n)\) 求。
假设我们已经求出了next 1~next i，图中绿框框起来的就是能匹配的最长的A中以i结尾的非前缀子串和A的前缀。
我们现在要求 \(next[i+1]\)。
(这里的j就相当于 \(next[i]\) )
显然当两个红圈圈起的位置上的字符相等，那么 \(next[i+1]=j+1\)
那么不相等怎么办？
重新匹配吗，那不就 \(O(n^2)\) 了吗？
我不会了妈妈救我
我们先设出 \(next[j]\) 的位置。显然两个蓝框框起的串匹配
因为绿框框起的串匹配，是不是四块蓝框框起的串互相匹配。
四块都互相匹配了显然这两块是匹配的。
咦，等等，好像有点眼熟！
这跟开始的一张图片很像。
也许你已经猜到接下来该做什么了。
我们看看 \(next[j]+1\) 和 \(i+1\) 位置上的字符是否相等。如果相等 \(next[i+1]=next[j]+1\) ，如果还不相等我们把 \(next[j]\) 看成 \(j\) ，继续取 \(next[j]\) 。。。。。。（一直这样跳\(next\)跳下去）
知道最后找到一个 \(j\) ，使得 \(j+1\) 位置上的字符跟 \(i+1\) 位置上的字符相等。或找不到字符跟 \(i+1\) 位置上的字符相等 \(next[i+1]\) 就是 \(0\)。
正确性
这样的正确性有保证吗？
我们想一直跳 \(next\) 实际上就是在遍历（所有能匹配的A中以i结尾的非前缀子串和A的前缀的长度）（名词太长用括号括起来）。因为 \(next\) 记录的是最长长度，所以可以不重不漏遍历所有情况（一直取小于这个数中最大的就可以遍历所有情况）。
或者这样想
如果漏掉了紫色框的情况。即假设紫色框框起的部分是(长度比绿框小的且是最长的能匹配的最长的A中以j结尾的非前缀子串和A的前缀)
那么因为绿框框起的串匹配，四个紫框框起的串互相匹配。
然后 \(next[j]\) 就不在图中所在位置了，也就是说与 \(next[j]\) 代表A中以j结尾的非前缀子串和A的前缀能匹配的最长长度矛盾。
所以用上面说的方法正确性是对的。
复杂度
那这样感觉复杂度又成 \(O(n^2)\) 的了
其实是 \(O(n)\) 的，我们来分析一波
这是求 \(next\) 数组的代码
for(int i=2,j=0;i<=len;i++){
while(j&&A[j+1]!=A[i])j=nxt[j];
if(A[j+1]==A[i])j++;
nxt[i]=j;
}
每次求 \(next[i]\) 时我们程序里的记录 \(next[i]\) 的变量 \(j\) 最多+1，一共最多加 \(n\) 次。然后每次跳 \(next\) ，j只会减小。
所以最多跳 \(n\) 次 \(next\) 。复杂度\(O(n)\)。
至此我们终于把如何求 \(next\) 数组讲完了。
其实后面的就简单了。
我们回到最初的起点。。
我们依然是按位匹配两个串。当不匹配的时候。我们把 \(i\) 改成 \(next[i]\) 继续匹配就好。
就像这样。
板子题
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1010000;
char s1[N],s2[N];
int len1,len2,nxt[N];
int main(){
scanf("%s",s1+1);
scanf("%s",s2+1);
len1=strlen(s1+1);
len2=strlen(s2+1);
for(int i=2,j=0;i<=len2;i++){
while(j&&s2[j+1]!=s2[i])j=nxt[j];
if(s2[j+1]==s2[i])j++;
nxt[i]=j;
}
for(int i=1,j=0;i<=len1;i++){
while((j&&s2[j+1]!=s1[i])||j==len2)j=nxt[j];
if(s2[j+1]==s1[i])j++;
if(j==len2)printf("%d\n",i-j+1);
}
for(int i=1;i<=len2;i++)printf("%d ",nxt[i]);
return 0;
}
扩展
\(KMP\) 除了单模式串匹配之外还有什么用处呢？
它还可以求循环节。
有一个结论是如果\((len\)%\((len-next[len])==0)\)那么最小循环节长度为\(len-next[len]\)
那么最小的循环节出现次数就是\(len/(len-next[len])\)
为什么呢？
为了方便解释，把字符串复制成两个。两个绿框分别代表能匹配的最长的A的非前缀后缀和A的前缀。两个绿框框起的串根据\(next\)数组的定义相等。
因为两个一样的串，图中红圈圈起的串显然相等。
然后因为两个绿框框起的串匹配，三个红圈圈起的串显然匹配。
又因为两个串是一样的，所以这四个红圈圈起的串互相匹配。
进而得出这些红圈代表的串都相等。
发现红圈圈起的串是循环节，因为\(next\)数组代表的是最大值，所以这个循环节是最小的。
所以如果\((len\)%\((len-next[len])==0)\)那么最小循环节长度为\(len-next[len]\)
那么最小的循环节出现次数就是\(len/(len-next[len])\)
注意必须要满足\((len\)%\((len-next[len])==0)\)
KMP求最小循环节的题POJ 2406 Power Strings
本文只是讲解算法，真正掌握它还需要多刷题。
完结撒花
