浅谈AC自动机

AC自动机

前（che）言（dan）

Aho-Corasick automation，该算法在1975年产生于贝尔实验室，是著名的多模匹配算法之一。一个常见的例子就是给出 \(n\) 个单词，再给出一段包含 \(m\) 个字符的文章，让你找出有多少个单词在文章里出现过。要搞懂AC自动机，先得有模式树（字典树）\(Trie\) 和 \(KMP\) 模式匹配算法的基础知识。

Trie

这里的Trie可不是什么权值线段树
就是常说的字典树。
这个东西似乎很简单？不会的出门左转问度娘
一个性质是两个串的\(LCP\)就是这两个串对应结束位置的\(LCA\)

简述

（此图蒯自网络）（右上方的几个字符串是模式串）
这就是一个\(AC\)自动机。
想要知道自动机是什么的大佬请问度娘
它大体上就是一个 \(Tire\) 树（Trie树中字符应该在边上，但这里字符在点上不引响解释），不过多了一些奇怪的东西，也就是图中的虚箭头。
这叫做fail指针。\(Trie\) 树中一个点的 \(fail\) 指针指向这个点代表字符串的最长后缀对应的节点。 \(fail\) 指针体现了 \(KMP\) 的思想
可以结合上面的图理解。

性质

我们发现如果我们沿着一个点的 \(fail\) 边一直跳，就可以遍历这个点代表字符串的所有后缀。用AC自动机解决的经典问题：多模式串匹配，就使用了AC自动机的这个性质。

我们发现 \(fail\) 边构成了一棵树（之后叫做fail 树），其中一个点的子树中所有的点代表的串都包含这个点代表的串（或者说这个点代表的串是这个点的 fail 树上子树中的点代表的串的子串）。 51nod 麦克打电话这个题就运用了AC自动机的这个性质。

构造

接下来讲讲如何构造\(AC\)自动机。
\(AC\)自动机就是\(Trie\)树上多了一些\(fail\)边，当然要先建出\(Trie\)树。

void insert(char *s){
	int l=strlen(s+1);
	int now=0;
	for(int i=1;i<=l;i++){
		if(ac[now].nxt[s[i]-'a']==0)ac[now].nxt[s[i]-'a']=++tot;
		now=ac[now].nxt[s[i]-'a'];
	}
	ac[now].cnt++;
}

(PS:代码中ac[u].nxt[i]代表 \(Trie\) 树中 \(u\) 节点沿 \(i\) 字符这条边走到达的节点，ac[u].cnt代表 \(Trie\) 树中以 \(u\) 为结束为止的字符串数量）
然后就是如何建 \(fail\) 边了。
考虑按长度递增的顺序（例如 \(bfs\) 序）依次求每个节点的\(fail\)。假设节点 \(x\) 的父边上的字符是 \(c\)，那么我们就从\(fail[fa[x]]\) 开始沿着 \(fail\) 链往上跳，直到跳到一个节点 \(y\) 使得 \(y\) 有字符为 \(c\) 的出边，那么这条出边走到的儿子就是 \(fail[x]\)。

void get_fail(){
    queue<int> q;
    for(int i=0;i<=25;i++)
        if(ac[0].nxt[i])q.push(ac[0].nxt[i]);
    while(!q.empty()){
	int u=q.front();
        q.pop();
        for(int i=0;i<=25;i++)
	    if(ac[u].nxt[i]){
	        q.push(ac[u].nxt[i]);
		int now=ac[u].fail;
		while(now&&ac[now].nxt[i]==0)now=ac[now].fail;
		if(now==0&&ac[now].nxt[i]==0)ac[ac[u].nxt[i]].fail=0;
		else ac[ac[u].nxt[i]].fail=ac[now].nxt[i];
	    }
    }
}

(PS:代码中ac[u].fail代表 \(u\) 点的 \(fail\) 边指向节点。

构造的复杂度分析

考虑对于属于同个串的节点建 \(fail\) 的总复杂度，\(KMP\) 用的分析依然适用，因此时间复杂度为总串长。

模板

以这道模板题为例
把文本串在 \(Trie\) 上进行匹配，新加一个字符时，若当前节点没有这个字符的出边，就一直沿着 \(fail\) 往上跳，直到跳到一个有该字符的出边为止，然后走到出边指向的儿子。然后把节点记录的结束位置个数统计一下就好了。

查询时间复杂度为文本串长度。复杂度分析同 \(KMP\) 复杂度分析

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std;
const int N=1001000;
int n,ans,tot;
char s[N];
struct AC{
    int nxt[26],cnt,fail;
}ac[N];
void insert(char *s){
    int l=strlen(s+1);
    int now=0;
    for(int i=1;i<=l;i++){
        if(ac[now].nxt[s[i]-'a']==0)ac[now].nxt[s[i]-'a']=++tot;
        now=ac[now].nxt[s[i]-'a'];
    }
    ac[now].cnt++;
}
void get_fail(){
    queue<int> q;
    for(int i=0;i<=25;i++)
        if(ac[0].nxt[i])q.push(ac[0].nxt[i]);
    while(!q.empty()){
        int u=q.front();
        q.pop();
        for(int i=0;i<=25;i++)
	    if(ac[u].nxt[i]){
		q.push(ac[u].nxt[i]);
		int now=ac[u].fail;
		while(now&&ac[now].nxt[i]==0)now=ac[now].fail;
		if(now==0&&ac[now].nxt[i]==0)ac[ac[u].nxt[i]].fail=0;
	        else ac[ac[u].nxt[i]].fail=ac[now].nxt[i];
	    }
    }
}
void work(char *s){
    int l=strlen(s+1);
    int now=0;
    for(int i=1;i<=l;i++){
    	while(now&&ac[now].nxt[s[i]-'a']==0)now=ac[now].fail;
    	now=ac[now].nxt[s[i]-'a'];
        for(int y=now;ac[y].cnt!=-1;y=ac[y].fail){
            ans+=ac[y].cnt;
            ac[y].cnt=-1;
        }
    }
}
int read(){
    int sum=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){sum=sum*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return sum*f;
}
int main(){
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%s",s+1);
        insert(s);
    }
    get_fail();
    scanf("%s",s+1);
    work(s);
    printf("%d",ans);
    return 0;
}

Trie图优化

假如节点 \(x\) 没有字符 \(c\) 的出边，那么不妨找到 \(x\) 在 \(fail\) 树上最近的一个有字符 \(c\) 出边的祖先，从 \(x\) 连一条边到这个点的字符 \(c\) 的儿子。这些边以及原本 \(Trie\) 树的结构构成的转移图称为 \(Trie\) 图。下面记 \(trans[x][c]\) 表示从节点 \(x\) 连出的字符 \(c\) 的出边指向的节点。

Trie 图则是相当于把 NFA 转化为了 DFA（这涉及到了自动机的概念，不了解也不影响对本篇文章的阅读，有能力的可以了解一下，可以加深理解还可以用来装逼）

建图的时候，\(fail[x]\) 就是 \(trans[fail[fa[x]]][c]\)。如果 \(x\) 本身有字符 \(c\) 的儿子，那么 \(trans[x][c]\) 就是这个儿子，否则\(trans[x][c]\) = \(trans[fail[x]][c]\)。

时间复杂度 \(O(|T||∑|)\)，其中 \(|T|\) 表示 \(Trie\) 的大小，\(|∑|\)表示字符集大小。

下面是Trie图优化的代码，还是刚才那个模板题

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std;
const int N=1001000;
int n,ans,tot;
char s[N];
struct AC{
    int nxt[26],cnt,fail;
}ac[N];
void insert(char *s){
    int l=strlen(s+1);
    int now=0;
    for(int i=1;i<=l;i++){
        if(ac[now].nxt[s[i]-'a']==0)ac[now].nxt[s[i]-'a']=++tot;
        now=ac[now].nxt[s[i]-'a'];
    }
    ac[now].cnt++;
}
void get_fail(){
    queue<int> q;
    for(int i=0;i<=25;i++)
        if(ac[0].nxt[i])q.push(ac[0].nxt[i]);
    while(!q.empty()){
        int u=q.front();
        q.pop();
        for(int i=0;i<=25;i++)
            if(ac[u].nxt[i])q.push(ac[u].nxt[i]),ac[ac[u].nxt[i]].fail=ac[ac[u].fail].nxt[i];
            else ac[u].nxt[i]=ac[ac[u].fail].nxt[i];
    }
}
void work(char *s){
    int l=strlen(s+1);
    int now=0;
    for(int i=1;i<=l;i++){
        now=ac[now].nxt[s[i]-'a'];
        for(int y=now;ac[y].cnt!=-1;y=ac[y].fail){
            ans+=ac[y].cnt;
            ac[y].cnt=-1;
        }
    }
}
int read(){
    int sum=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){sum=sum*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return sum*f;
}
int main(){
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%s",s+1);
        insert(s);
    }
    get_fail();
    scanf("%s",s+1);
    work(s);
    printf("%d",ans);
    return 0;
}

本文只是讲解算法，真正掌握它还需要多刷题。
完结撒花