势能相关做题记录

势能相关

P5905 【模板】全源最短路（Johnson）

题意：有负权情况下的全源最短路。

思路：Johnson 全源最短路可以在 \(O(nm\log m)\) 的复杂度内解决带有负权的全源最短路。

这个算法的巧妙之处在于为每个点赋予 势能 \(h_i\)。从一个点到另一个点，无论走什么路径，势能的变化量都是一定的。于是我们被每条边的边权改为 \(w_i+h_u-h_v\)，然后先用 SPFA 求出 \(h\)，这样每条边都是非负的，可以跑 \(n\) 遍 Dijkstra 来求解。

P1861 星之器

题意：有 \(n\times m\) 的网格，每次操作可以让每一行或者每一列的不相邻的两个格子，让这两个格子减一，让与这两个格子相邻且在中间的两个格子减一，每次操作的贡献是两个格子的距离，给出初始状态和末状态，求最大贡献。

思路：神题。

可以发现答案与操作的方式无关，只与初、末状态有关，于是可以想到用势能来刻画。

设 \(f(x,y)\) 为 \((x,y)\) 的势能，那么总势能就是每个点势能的加和，而且 \(x,y\) 两维是独立的。

单独考虑 \(x\) 维。根据操作，有 \(f(x_1)+f(x_2)-f(x_1+1)-f(x_2-1)=x_2-x_1-1\)，移项就是 \(f(x_1+1)-f(x_1)-(x_1+1)=f(x_2)-f(x_2-1)-x_2\)，即 \(f(x-1)-f(x)-x\) 为定值，那么不妨就当做 0，这样推出来 \(f(x)=\dfrac{x^2+x}{2}\)，于是 \(f(x,y)=\dfrac{x^2+x+y^2+y}{2}\)，把所有的加起来就是答案。