势能相关做题记录

1|0势能相关

1|1P5905 【模板】全源最短路（Johnson）

题意：有负权情况下的全源最短路。

思路：Johnson 全源最短路可以在 $O(nm\log m)$ 的复杂度内解决带有负权的全源最短路。

这个算法的巧妙之处在于为每个点赋予 势能 $h_i$。从一个点到另一个点，无论走什么路径，势能的变化量都是一定的。于是我们被每条边的边权改为 $w_i+h_u-h_v$，然后先用 SPFA 求出 $h$，这样每条边都是非负的，可以跑 $n$ 遍 Dijkstra 来求解。

1|2P1861 星之器

题意：有 $n\times m$ 的网格，每次操作可以让每一行或者每一列的不相邻的两个格子，让这两个格子减一，让与这两个格子相邻且在中间的两个格子减一，每次操作的贡献是两个格子的距离，给出初始状态和末状态，求最大贡献。

思路：神题。

可以发现答案与操作的方式无关，只与初、末状态有关，于是可以想到用势能来刻画。

设 $f(x,y)$ 为 $(x,y)$ 的势能，那么总势能就是每个点势能的加和，而且 $x,y$ 两维是独立的。

单独考虑 $x$ 维。根据操作，有 $f(x_1)+f(x_2)-f(x_1+1)-f(x_2-1)=x_2-x_1-1$，移项就是 $f(x_1+1)-f(x_1)-(x_1+1)=f(x_2)-f(x_2-1)-x_2$，即 $f(x-1)-f(x)-x$ 为定值，那么不妨就当做 0，这样推出来 $f(x)={\displaystyle \frac{x^2+x}{2}}$，于是 $f(x,y)={\displaystyle \frac{x^2+x+y^2+y}{2}}$，把所有的加起来就是答案。

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本文作者：Xttttr
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