WQS二分学习笔记

WQS二分

WQS二分是一种可以处理一类带有限制的问题的方法，这种限制一般是恰好选 \(k\) 个的形式，而且要求原问题有凸性。

比如函数是上凸的，那么斜率就递减，如果我们去二分这个斜率，那么可以快速求出切点，而切点横坐标代表我们选择了多少个，于是我们就可以根据这个数目和题中要求的\(k\)进行比较，来判断斜率是该变大还是减小。

对于斜率，一般是理解成选择一个物品的额外代价，然后通过dp等方法求出最小值和选择的数量，再进行判断。另外要注意最终切点可能不等于 \(k\)，要通过斜率算出等于 \(k\) 时的答案。

一些例题：

最小度限制生成树

即限制一个点的度数必须为\(d\)的最小生成树。可以给所有与这个点相连的边加上额外的权值\(k\)，再跑最小生成树，根据这个点的度数判断额外代价是该减小还是增大。

CF739E Gosha is hunting

题意：有\(n\)个神奇宝贝，有\(a\)个宝贝球和\(b\)个超级球，前者抓住\(i\)的概率是\(p_i\)，后者是\(u_i\)，可以用两种球抓同一只，但每种至多用一个，求抓到神奇宝贝的个数的期望的最大值。

思路：wqs二分。每次二分出一个斜率\(k\)，表示每使用一个宝贝球答案就减\(k\)，然后求出用多少个超级球。这一步可以直接贪心。每个位置有四种情况，分类讨论一下即可。

[八省联考 2018] 林克卡特树

题意：在树上选出\(k+1\)条不相交的链使得链的边权和最大。

思路：WQS二分+树形DP。看到恰好多少条就想到了WQS二分，二分选出一条链的代价，然后用树形DP算出选出多少条链最优。具体的，设\(dp[i][0/1/2][0/1]\)表示在\(i\)的子树中，点\(i\)的度数为0/1/2,最后的0/1表示是权值还是选了几条链。转移时：

\[\begin{aligned} dp[i][0]&=\max\limits_{k=0}^2dp[j][k]\\ dp[i][1]&=\max(dp[i][0]+dp[j][1]+(w_j,0),dp[i][0]+dp[j][0]+(w_j-mid,1),\max\limits_{k=0}^2dp[i][1]+dp[j][k])\\ dp[i][2]&=\max(dp[i][1]+dp[j][0]+(w_j,0),dp[i][1]+dp[j][1]+(w_j+mid,-1),\max\limits_{k=0}^2dp[i][2]+dp[j][k]) \end{aligned}\]

复杂度：\(O(n\log(n))\)。

April Fools' Problem (hard)

题意：有\(n\)道题，第\(i\)天可以花\(a_i\)准备一道题或者花\(b_i\)打印一道题，每天最多准备一道、打印一道，求最少的准备并打印\(k\)道题的花费。

思路：看到恰好\(k\)道就想到wqs二分，而看起来又很贪心，于是就把两个结合起来。

首先二分一个值\(mid\)表示每次打印的额外花费，然后在每个点有两种决策，准备一道题或者打印前面代价最小的一道题，这个过程可以用堆来维护，于是就可以了。复杂度\(O(n\log n\log V)\)。

P2619 [国家集训队] Tree I

题意：无向图每条边有两种颜色，求恰好有 \(k\) 条白色边的最小生成树。

思路：感性地发现答案关于 \(k\) 是有凸性的，于是考虑用 WQS 二分，二分用一条白色边的额外代价，然后判断选择的白色边个数即可。