WQS二分学习笔记

1|0WQS二分

WQS二分是一种可以处理一类带有限制的问题的方法，这种限制一般是恰好选 $k$ 个的形式，而且要求原问题有凸性。

比如函数是上凸的，那么斜率就递减，如果我们去二分这个斜率，那么可以快速求出切点，而切点横坐标代表我们选择了多少个，于是我们就可以根据这个数目和题中要求的$k$进行比较，来判断斜率是该变大还是减小。

对于斜率，一般是理解成选择一个物品的额外代价，然后通过dp等方法求出最小值和选择的数量，再进行判断。另外要注意最终切点可能不等于 $k$，要通过斜率算出等于 $k$ 时的答案。

一些例题：

1|1最小度限制生成树

即限制一个点的度数必须为$d$的最小生成树。可以给所有与这个点相连的边加上额外的权值$k$，再跑最小生成树，根据这个点的度数判断额外代价是该减小还是增大。

1|2CF739E Gosha is hunting

题意：有$n$个神奇宝贝，有$a$个宝贝球和$b$个超级球，前者抓住$i$的概率是$p_i$，后者是$u_i$，可以用两种球抓同一只，但每种至多用一个，求抓到神奇宝贝的个数的期望的最大值。

思路：wqs二分。每次二分出一个斜率$k$，表示每使用一个宝贝球答案就减$k$，然后求出用多少个超级球。这一步可以直接贪心。每个位置有四种情况，分类讨论一下即可。

1|3[八省联考 2018] 林克卡特树

题意：在树上选出$k+1$条不相交的链使得链的边权和最大。

思路：WQS二分+树形DP。看到恰好多少条就想到了WQS二分，二分选出一条链的代价，然后用树形DP算出选出多少条链最优。具体的，设$dp[i][0/1/2][0/1]$表示在$i$的子树中，点$i$的度数为0/1/2,最后的0/1表示是权值还是选了几条链。转移时：

$$\begin{array}{rl}dp[i][0]& =\underset{k=0}{\overset{2}{max}}dp[j][k]\\ dp[i][1]& =max(dp[i][0]+dp[j][1]+(w_j,0),dp[i][0]+dp[j][0]+(w_j-mid,1),\underset{k=0}{\overset{2}{max}}dp[i][1]+dp[j][k])\\ dp[i][2]& =max(dp[i][1]+dp[j][0]+(w_j,0),dp[i][1]+dp[j][1]+(w_j+mid,-1),\underset{k=0}{\overset{2}{max}}dp[i][2]+dp[j][k])\end{array}$$

复杂度：$O(n\log (n))$。

1|4April Fools' Problem (hard)

题意：有$n$道题，第$i$天可以花$a_i$准备一道题或者花$b_i$打印一道题，每天最多准备一道、打印一道，求最少的准备并打印$k$道题的花费。

思路：看到恰好$k$道就想到wqs二分，而看起来又很贪心，于是就把两个结合起来。

首先二分一个值$mid$表示每次打印的额外花费，然后在每个点有两种决策，准备一道题或者打印前面代价最小的一道题，这个过程可以用堆来维护，于是就可以了。复杂度$O(n\log n\log V)$。

1|5P2619 [国家集训队] Tree I

题意：无向图每条边有两种颜色，求恰好有 $k$ 条白色边的最小生成树。

思路：感性地发现答案关于 $k$ 是有凸性的，于是考虑用 WQS 二分，二分用一条白色边的额外代价，然后判断选择的白色边个数即可。

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本文作者：Xttttr
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