凸包学习笔记

1|0凸包

一般通过证明或观察出斜率有单调性于是可以用凸包维护。

1|1P5155 [USACO18DEC]Balance Beam P

题意：有长为$n$的序列，每次等概率向左右移动一格，也可以结束并获得当前位置上的值，求每个位置的最大期望收益。

思路：完全不懂期望!

首先有一个结论，在$[0,L]$上的$x$处，每次等概率向两边走，走到$0,L$就停下，最终走到$0$的概率是${\displaystyle \frac{L-x}{L}}$，到达$L$的概率是${\displaystyle \frac{x}{L}}$。证明的话，设$f_i$为在$i$处最终到达$L$的概率，那么有$f_i={\displaystyle \frac{f_{i-1}+f_{i+1}}{2}}$，这意味着这是等差数列，而又有$f_0=0,f_L=1$，于是就可以推出刚才的结论。

接着再来看这道题，我们可以发现，最优策略肯定是在一个位置左右各选择一个停止点，到这个点就停止，我们把这些点成为停止点，现在问题就是选择哪些点作为停止点。假设当前在位置$i$，左右的停止点是$a,b$，那么期望就是$v_a\times {\displaystyle \frac{b-i}{b-a}}+v_b\times {\displaystyle \frac{i-a}{b-a}}$。这样还是不够具体。我们把$(i,v_i)$当场一个点放在二维平面上，那么$v_a\times {\displaystyle \frac{b-i}{b-a}}+v_b\times {\displaystyle \frac{i-a}{b-a}}$就对应线段$AB$与$x=i$的交点的纵坐标，而最大的期望就是所有交点中最高的一个，而这样的线段一定在凸包上，于是我们求出凸包就可以了。

1|2P3309 [SDOI2014] 向量集

题意：加向量，求区间中的向量和询问给出的向量的点积的最大值。

思路：线段树维护凸包。

可以把答案变形为${\displaystyle \frac{ans}{y_0}}=max\{{\displaystyle \frac{x_0}{y_0}}x+y\}$，发现最优答案肯定值在凸包上取到，于是维护上、下凸包即可。因为是在线的，因此对于一个区间，只有这个区间的所有线段都被加进来后才会求出这个区间的凸包，这样才能保证复杂度。

1|3P5416 [CTSC2016] 时空旅行

思路：首先，$y,z$ 这两是可以不要的，问题就变成了求 $min\{(x-x_i{)}^2+c_i\}$，即 $min\{x^2-2x{x}_i+x_i^2+c_i\}$，发现这就是斜率优化，可以写为 $2x{x}_i+k=x^2+x_i^2+c_i$，于是维护凸包后每次找最后一个斜率不大于$2x$的线段就可以了。但是这道题不能直接求出每条线出现的区间，不过可以用dfn序（类似NOI2014购票）来处理。

还有询问的问题。我们可以把所有询问按 $x$ 排序，这样每次的最优线段一定在之前的最优线段之后，可以对每个区间同时维护当前最优线段，然后只需考虑右移的贡献。

1|4P9521 [JOISC2022] 京都观光

思路：考虑有行 $x<y<z$，列 $l<r$，那么有三种方式：

1. $(x,l)\to (x,r)\to (z,r)$，代价 $(r-l)a_x+(z-x)b_r$
2. $(x,l)\to (z,l)\to (z,r)$，代价 $(r-l)a_z+(z-x)b_l$
3. $(x,l)\to (y,l)\to (y,r)\to (z,r)$，代价 $(r-l)a_y+(y-x)b_x+(z-y)b_y$

如果经过 $y$ 更优，那么有 ${\displaystyle \frac{a_y-a_x}{y-x}}<{\displaystyle \frac{b_r-b_l}{r-l}}<{\displaystyle \frac{a_z-a_y}{z-y}}$

同理，考虑何时向下何时向右，那么有 ${\displaystyle \frac{b_r-b_l}{r-l}}<{\displaystyle \frac{a_z-a_x}{z-x}}$ 时往下走。

发现就相当于要维护下凸壳。于是维护下凸壳就可以了。

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本文作者：Xttttr
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