李超树学习笔记

1|0李超线段树

李超线段树一般的操作是加入一个线段求在某个点处的极值。

李超线段树每个节点有一个优势线段，表示在 $m i d$ 处取到最优的线段，相当于是标记永久化，如果不是优势线段，那么其最多在 $l, r$ 中的一个位置比当前线段最优，因此最多递归进入一个孩子，于是复杂度是 $O (\log n)$ 的。

1|1CF932F Escape Through Leaf

题意：一棵树，每个点有点权 $a_{i}, b_{i}$ ，从 $x$ 到子树中点 $y$ 的代价是 $a_{x} \times b_{y}$ ，求每个点到树的叶子节点的代价的最小值。

思路：第一次知道有李超树合并。设 $f_{x}$ 表示 $x$ 到叶子节点的代价的最小值，则有 $f_{x} = min_{x \in a n c_{y}} f_{y} + a_{x} \times b_{y}$ ，发现这相当于是有若干一次函数，要求当 $x = a_{x}$ 时的最小值，于是考虑李超树。而一个点有多个子树是，需要将每个儿子的李超树合并起来，这一步的复杂度均摊是 $O (n \log n)$ 的，于是就做完了。

1|2P2305 [NOI2014] 购票

题意：一棵树，有边权，两点的路径长度为边权之和，点 $x$ 可以到距离不超过 $l_{x}$ 的点 $y$ ，代价是 $p_{x} d i s (x, y) + q_{x}$ ，求每个点到 1 号点的最小代价。

其实还好，就是相当于维护一个区间李超树，可以根据出栈序，建立线段树套李超树就可以了。

1|3P4655 [CEOI2017] Building Bridges

题意：有 $n$ 个柱子依次排列，要修建一些桥，如果在 $i, j$ 之间建桥代价是 $(h_{i} - h_{j})^{2}$ ，同时如果一根柱子不与桥相连就需要 $w_{i}$ 的代价，求把第一根柱子和最后一根柱子连通的最小代价。

思路：考虑 DP，设 $f_{i}$ 表示连通 $i$ 的最小代价，有 $f_{i} = min_{j} (f_{j} + (h_{i} - h_{j})^{2} + \sum_{k \in (j, i)} w_{k})$ ，记 $w$ 的前缀和是 $p r e$ ，那么有 $f_{i} = min_{j} (f_{j} + h_{j}^{2} - p r e_{j} - 2 h_{i} h_{j}) + h_{i}^{2} + p r e_{i - 1}$ ，于是就可以用李超树来维护最小值了。

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本文作者：Xttttr
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