李超树学习笔记

李超线段树

李超线段树一般的操作是加入一个线段求在某个点处的极值。

李超线段树每个节点有一个优势线段，表示在 \(mid\) 处取到最优的线段，相当于是标记永久化，如果不是优势线段，那么其最多在 \(l,r\) 中的一个位置比当前线段最优，因此最多递归进入一个孩子，于是复杂度是 \(O(\log n)\) 的。

CF932F Escape Through Leaf

题意：一棵树，每个点有点权\(a_i,b_i\)，从\(x\)到子树中点\(y\)的代价是\(a_x\times b_y\)，求每个点到树的叶子节点的代价的最小值。

思路：第一次知道有李超树合并。设\(f_x\)表示\(x\)到叶子节点的代价的最小值，则有\(f_x=\min\limits_{x\in anc_y}f_y+a_x\times b_y\)，发现这相当于是有若干一次函数，要求当\(x=a_x\)时的最小值，于是考虑李超树。而一个点有多个子树是，需要将每个儿子的李超树合并起来，这一步的复杂度均摊是\(O(n\log n)\)的，于是就做完了。

P2305 [NOI2014] 购票

题意：一棵树，有边权，两点的路径长度为边权之和，点 \(x\) 可以到距离不超过 \(l_x\) 的点 \(y\)，代价是 \(p_xdis(x,y)+q_x\)，求每个点到 1 号点的最小代价。

其实还好，就是相当于维护一个区间李超树，可以根据出栈序，建立线段树套李超树就可以了。

P4655 [CEOI2017] Building Bridges

题意：有 \(n\) 个柱子依次排列，要修建一些桥，如果在 \(i,j\) 之间建桥代价是 \((h_i-h_j)^2\)，同时如果一根柱子不与桥相连就需要 \(w_i\) 的代价，求把第一根柱子和最后一根柱子连通的最小代价。

思路：考虑 DP，设 \(f_i\) 表示连通 \(i\) 的最小代价，有 \(f_i=\min\limits_{j}(f_j+(h_i-h_j)^2+\sum\limits_{k\in(j,i)}w_k)\)，记 \(w\) 的前缀和是 \(pre\)，那么有 \(f_i=\min\limits_{j}(f_j+h_j^2-pre_j-2h_ih_j)+h_i^2+pre_{i-1}\)，于是就可以用李超树来维护最小值了。