可查询双端队列学习笔记

可查询双端队列

操作：头插头删，尾插尾删，查最大值。

做法：从中点维护向左、向右两个单调栈（不强制加入），如果一个单调栈被删空了就重构。

复杂度证明：一次重构的复杂度是两个单调栈的长度差，而每次操作最多使长度差 +1，于是总复杂度是 \(O(n)\) 的。

P1295 [TJOI2011] 书架

题意：给一个序列 \(h\)，要分成若干段使得每一段长度不大于 \(m\)，最小化所有段的最大值之和。

思路：首先可以很简单的想到一个 \(O(n^2)\) 的 DP：设 \(f_i\) 表示 \(i\) 为当前段末尾的最小和，则 \(f_i=\min\limits_{s_i-s_j<=m}(f_j+\max\limits_{k=j+1}^ih_k)\)。

因为有最大值，我们考虑找找单调性。首先，如果 \(h_j\leqslant h_{j+1}\)，那么 \(\max\limits_{k=j}^i h_k=\max\limits_{k=j+1}^i h_k\)，而 \(f\) 显然是单调递增，那这个时候从 \(j\)转移一定比从 \(j+1\) 转移更优，所以我们很容易用一个单调队列（记为 \(q\)）来记录可能对答案做贡献的位置。然后我们考虑如何计算贡献。因为队列里的值是递减的，即 \(h_{q_l}>\cdots h_{q_r}\)，那么每个的贡献就是 \(f_{q_l}+a_{q_{l+1}}\)，这时我们还需维护 \(f\)。为了保证复杂度，我们可以用两个单调下降的栈来维护 \(f\)，每当左或右端点到了中点就重构，这样复杂度就是 \(O(n)\) 的了。