可查询双端队列学习笔记

1|0可查询双端队列

操作：头插头删，尾插尾删，查最大值。

做法：从中点维护向左、向右两个单调栈（不强制加入），如果一个单调栈被删空了就重构。

复杂度证明：一次重构的复杂度是两个单调栈的长度差，而每次操作最多使长度差 +1，于是总复杂度是 $O(n)$ 的。

1|1P1295 [TJOI2011] 书架

题意：给一个序列 $h$，要分成若干段使得每一段长度不大于 $m$，最小化所有段的最大值之和。

思路：首先可以很简单的想到一个 $O(n^2)$ 的 DP：设 $f_i$ 表示 $i$ 为当前段末尾的最小和，则 $f_i=\underset{s_i-s_j<=m}{min}(f_j+\underset{k=j+1}{\overset{i}{max}}{h}_k)$。

因为有最大值，我们考虑找找单调性。首先，如果 $h_j⩽h_{j+1}$，那么 $\underset{k=j}{\overset{i}{max}}{h}_k=\underset{k=j+1}{\overset{i}{max}}{h}_k$，而 $f$ 显然是单调递增，那这个时候从 $j$转移一定比从 $j+1$ 转移更优，所以我们很容易用一个单调队列（记为 $q$）来记录可能对答案做贡献的位置。然后我们考虑如何计算贡献。因为队列里的值是递减的，即 $h_{q_l}>\cdots h_{q_r}$，那么每个的贡献就是 $f_{q_l}+a_{q_{l+1}}$，这时我们还需维护 $f$。为了保证复杂度，我们可以用两个单调下降的栈来维护 $f$，每当左或右端点到了中点就重构，这样复杂度就是 $O(n)$ 的了。

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本文作者：Xttttr
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