单位根反演学习笔记

1|0单位根反演

[n | a] = \frac{1}{n} \sum_{k = 0}^{n - 1} w_{n}^{a k}

证明：

当 $i ≢ 0 (\mod n)$ 时，由等比数列求和公式可得：

原式 $= \frac{1}{n} \times \frac{w_{n}^{a n} - 1}{w_{n}^{a} - 1}$ ，而右边分子为0，分母不为0，因此和为0。

当 $i \equiv 0 (\mod n)$ 时，有原式 $= \frac{1}{n} \sum_{i = 0}^{n - 1} w_{n}^{0} = 1$ 。

1|1qoj5370

求 $\sum_{j = 0}^{\infty} (\binom{k}{i + j n})$ 。

推式子：

\begin{aligned} \sum_{j = 0}^{\infty} (\binom{k}{i + j n}) & = \sum_{v = 0}^{k} (\binom{k}{v}) \frac{\sum_{j = 0}^{n - 1} (w_{n}^{v - i})^{j}}{n} \\ = \frac{1}{n} \sum_{j = 0}^{n - 1} w_{n}^{- i j} \sum_{v = 0}^{k} (\binom{k}{v}) w_{n}^{v j} \\ = \frac{1}{n} \sum_{j = 0}^{n - 1} w_{n}^{- i j} (1 + w_{n}^{j})^{k} \end{aligned}

求出单位根就可以直接求了。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,k,p,mod,P;
int st[105],hst;
inline int qpow(int x,int k){x%=mod;int ans=1;for(;k;k>>=1,x=1ll*x*x%mod)if(k&1)ans=1ll*ans*x%mod;return ans;}
inline bool check(int x){
    for(int i=1;i<=hst;i++){
        if(qpow(x,P/st[i])==1)return 0;
    }
    return 1;
}
inline int getw(){
    int s=sqrt(mod),x=mod-1;
    hst=0;
    for(int i=2;i<=s;i++)if(x%i==0){
        st[++hst]=i;
        while(x%i==0)x/=i;
    }
    if(x>1)st[++hst]=x;
    for(int i=2;i<=mod;i++)if(check(i)){
        return i;
        break;
    }
    return 0;
}
inline void solve(){
    cin>>n>>p>>k>>m>>mod;
    m=((p-m)%n+n)%n;
    P=mod-1;
    int w=getw();
    // cout<<w<<" ";
    w=qpow(w,P/n);
    // cout<<w<<endl;
    int inv=qpow(w,P-m),ans=0;
    for(int i=0,x=1,y=1;i<n;i++){
        ans=(ans+1ll*y*qpow(1+x,k)%mod)%mod;
        y=1ll*y*inv%mod,x=1ll*x*w%mod;
    }
    ans=1ll*ans*qpow(n,mod-2)%mod;
    cout<<ans<<endl;
}
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0),cout.tie(0);
    int T;
    cin>>T;
    while(T--)solve();
    return 0;
}

__EOF__

本文作者：Xttttr
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