单位根反演学习笔记

单位根反演

\[[n|a]=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{k=0}^{n-1}w^{ak}_{n} \]

证明：

当\(i\not\equiv 0\pmod n\)时，由等比数列求和公式可得：

原式\(=\dfrac{1}{n}\times \dfrac{w^{an}_n-1}{w^a_{n}-1}\)，而右边分子为0，分母不为0，因此和为0。

当\(i\equiv 0\pmod n\)时，有原式\(=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=0}^{n-1}w^0_n=1\)。

qoj5370

求\(\sum\limits_{j=0}^{\infty}\binom{k}{i+jn}\)。

推式子：

\[\begin{aligned} \sum\limits_{j=0}^{\infty}\binom{k}{i+jn}&=\sum\limits_{v=0}^k\binom{k}{v}\dfrac{\sum_{j=0}^{n-1}(w^{v-i}_n)^j}{n}\\ &=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{j=0}^{n-1}w^{-ij}_n\sum\limits_{v=0}^k\binom{k}{v}w^{vj}_n\\ &=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{j=0}^{n-1}w^{-ij}_n(1+w^j_n)^k \end{aligned}\]

求出单位根就可以直接求了。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,k,p,mod,P;
int st[105],hst;
inline int qpow(int x,int k){x%=mod;int ans=1;for(;k;k>>=1,x=1ll*x*x%mod)if(k&1)ans=1ll*ans*x%mod;return ans;}
inline bool check(int x){
    for(int i=1;i<=hst;i++){
        if(qpow(x,P/st[i])==1)return 0;
    }
    return 1;
}
inline int getw(){
    int s=sqrt(mod),x=mod-1;
    hst=0;
    for(int i=2;i<=s;i++)if(x%i==0){
        st[++hst]=i;
        while(x%i==0)x/=i;
    }
    if(x>1)st[++hst]=x;
    for(int i=2;i<=mod;i++)if(check(i)){
        return i;
        break;
    }
    return 0;
}
inline void solve(){
    cin>>n>>p>>k>>m>>mod;
    m=((p-m)%n+n)%n;
    P=mod-1;
    int w=getw();
    // cout<<w<<" ";
    w=qpow(w,P/n);
    // cout<<w<<endl;
    int inv=qpow(w,P-m),ans=0;
    for(int i=0,x=1,y=1;i<n;i++){
        ans=(ans+1ll*y*qpow(1+x,k)%mod)%mod;
        y=1ll*y*inv%mod,x=1ll*x*w%mod;
    }
    ans=1ll*ans*qpow(n,mod-2)%mod;
    cout<<ans<<endl;
}
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0),cout.tie(0);
    int T;
    cin>>T;
    while(T--)solve();
    return 0;
}