boruvka 算法学习笔记

1|0boruvka算法

就是最小生成树 B 算法。B 算法的思路是每次对每个连通块，求出它能连出去的权值最小的边，然后再按边权从小到大合并。由于每次操作连通块数至少减半，所以复杂度是 $O (m \log n)$ 。

1|1CF1305G Kuroni and Antihype

题意：长为 $n$ 的数列 $a$ ，现在要选择全部数，每一次你可以选择一个未被选择的数，也可以选择一个已经被选择了的数 $a_{i}$ ，再选择一个满足 $a_{i} & a_{j} = 0$ 的未被选择的数 $a_{j}$ ，得到 $a_{i}$ 的贡献，求选择所有数的贡献最大值。

思路：我们先加入点 $n + 1$ 权值为 0 来保证能选所有点，令 $a n s = - \sum a_{i}$ ，然后将 $a_{i} & a_{j} = 0$ 的点间连上 $a_{i} + a_{j}$ 的边，然后求一个最大生成树即可。但是边数是 $O (n^{2})$ 量级的，我们考虑利用这道题的性质进行优化。我们设 $f [S] [2]$ 表示边权是 $S$ 的二进制下子集的最大/次大边权，这个可以用 DP 求出，然后对于 $a_{i}$ ，根据 $f [∁ a_{i}]$ 求出 $i$ 所在集合能连出去的最大边权再加边即可。因此可以 $O (w \log w)$ 拓展一轮，那么用上 B 算法就可以了。

复杂度 $O (w \log n \log w)$ 。

1|2Tree MST

题意：有一棵树，现在用这棵树生成一张完全图，图上两点间的距离是 $w_{x} + d i s (x, y) + w_{y}$ ，求最小生成树。

思路：考虑用 boruvka 算法。我们每次需要对于一个点，求出这个点连向不在一个联通块的点的最小边，可以用一次换根 DP 求出。

具体的，维护 $w_{x} + d i s_{x}$ 的最小值和不在一个联通块内的点的次小值就可以了。

复杂度 $O (n \log n)$ 。

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本文作者：Xttttr
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