浅谈一类边权带指数的图论问题

偶然看到了这道题，求的是边权为 $n^{w}$ 次方时树上的第 $k$ 小路径，觉得这类题目很有意思，就研究了一下。

1|0CF464E The Classic Problem

题意：给一个无向图，每条边的边权是 $2^{w_{i}}$ ，求 $s$ 到 $t$ 的最短路。

思路：首先，我们可以把距离看成一个二进制数，那么我们需要能支持快速比较两个二进制数，二进制数在某一位 +1，把一个二进制数赋成另一个二进制数的数据结构。

因为有最后一个操作，好像只有可持久化的数据结构支持这一点，于是考虑用主席树来维护。

对于第一个操作，需要维护每个区间的哈希值，比较时找出两个二进制数的 lcp 就可以比较大小。

对于第二个操作，需要能查一个位置后面第一个是 0 的位置和区间清零，前者可以用主席树上二分，后者可以直接把一个空的主席树复制过来。

接下来的部分就比较简单了。直接用 dijkstra，每个点维护一棵主席树，松弛边 $(u, v, w)$ 的时候就是新建一棵主席树表示 $d i s_{u} + 2^{w}$ ，然后判断和 $d i s_{v}$ 的大小关系即可。

2|0[PA2019] Podatki drogowe

题意：有一棵树，每条边的边权为 $n^{w_{i}}$ 次方时树上的第 $k$ 小路径。

思路：因为边权是 $n^{z}$ ，而一条路径最多只有 $n - 1$ 条边，因此不用考虑进位的问题，只用考虑每个 $n^{i}$ 的系数。

首先，肯定要二分答案，但是值域太大不好直接二分，但是一共只有 $\frac{n (n - 1)}{2}$ 条路径，可以考虑直接二分路径，同时采用随机二分。

然后就是怎么判断一条路径在路径集合中的排名。

处理树上路径一般采用点/边分治，这道题用边分治更好处理，于是可以先用边分治处理处所有一半的路径，然后排序，二分判段时双指针计算答案即可。

如何维护每条路径的系数和比较大小呢？和上一题一样，可以把边权看成一个 $n$ 进制数，然后使用主席树。主席树上叶子节点维护 $n_{i}$ 的系数，每个节点都维护当前区间表示的数的哈希值，就可以支持维护路径的系数和比较大小了。

其实这类问题思维量算是紫题的水平，但是困难点就在于代码实现，比如第二题代码长度达到了 6.6k。

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本文作者：Xttttr
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