CF877F 题解

1|0CF877F 题解

提供一个扫描线 + 根号分治做法。

首先，可以把题目的条件转化成求

s u m_{r} - s u m_{l - 1} = k

的区间数。

考虑扫描线，当区间的右端点从

r - 1

移动到

r

时，新增的区间的左端点就是所有满足

s u m_{l - 1} = s u m_{r} - k, l \leq r

的

l

。这时我们对

s u m_{l - 1}

的出现次数按

B

进行分治。

具体的，如果出现次数

\leq B

，那么我们这一次至多会修改

B

个位置，而查询只有一次，于是可以采用

O (1) - O (\sqrt{n})

的分块来维护；如果出现次数

> B

，这样的数至多有

\frac{n}{B}

个，我们可以对每个数都维护一个数据结构，要求支持区间加以及区间和，而每次加的操作只有

O (1)

次，但是每个询问都要对每个数进行查询，共

\frac{n}{B}

次，于是可以采用

O (\sqrt{n}) - O (1)

的分块（具体可见

LOJ#6280. 数列分块入门 4)

总复杂度

O (n \sqrt{n} + q \sqrt{n} + n B + q \frac{n}{B})

，

B

取

\sqrt{n}

时就可以在

O (n \sqrt{n} + q \sqrt{n})

的复杂度内解决这道题。

 1 const int N=100501,B=1000;
 2 int n,k,Q;
 3 int t[N],a[N],tot,bl[N],L[N],R[N];
 4 ll pre[N],ans[N],st[N];
 5 vector<pair<int,int> >qu[N];
 6 map<ll,int>mp;
 7 struct Brick{
 8     ll sum[N],sumb[N];
 9     inline void modify(int x){sum[x]++,sumb[bl[x]]++;}
10     inline ll query(int l,int r){
11         if(bl[l]==bl[r]){
12             ll ans=0;
13             for(int i=l;i<=r;i++)ans+=sum[i];
14             return ans;
15         }
16         ll ans=0;
17         for(int i=l;i<=R[bl[l]];i++)ans+=sum[i];
18         for(int i=bl[l]+1;i<bl[r];i++)ans+=sumb[i];
19         for(int i=L[bl[r]];i<=r;i++)ans+=sum[i];
20         return ans;
21     }
22 }T;
23 vector<int>hav[N],big;
24 int id[N],cnt;
25 struct Bri{
26     vector<ll>pre,sum,tag;
27     int n;
28     inline void init(int m){n=m;pre.resize(n+1),sum.resize(n+1),tag.resize(n+1);}
29     inline void add(int x,int k){
30         for(int i=x;i<=R[bl[x]];i++)pre[i]+=1ll*k*(i-x+1);
31         for(int i=bl[x]+1;i<=bl[n];i++)sum[i]+=1ll*k*(1-x),tag[i]+=k;
32     }
33     inline void add(int l,int r,int k){add(l,k);if(r<n)add(r+1,-k);}
34     inline ll query(int x){return pre[x]+sum[bl[x]]+1ll*tag[bl[x]]*x;}
35     inline ll query(int l,int r){return query(r)-query(l-1);}
36 }b[N/B+50];
37 int low[N/B+50][N],upp[N/B+50][N];
38 int main(){
39     n=read(),k=read();
40     for(int i=1;i<=n;i++)t[i]=read();
41     for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=read(),pre[i]=pre[i-1]+(t[i]==1?a[i]:-a[i]);
42     for(int i=0;i<n;i++)st[++tot]=pre[i];
43     sort(st+1,st+tot+1);
44     tot=unique(st+1,st+tot+1)-st-1;
45     for(int i=1;i<=tot;i++)mp[st[i]]=i;
46     for(int i=0;i<n;i++)hav[mp[pre[i]]].push_back(i);
47     for(int i=1;i<=n;i++){
48         bl[i]=(i-1)/B+1;
49         if(bl[i]^bl[i-1])L[bl[i]]=i;
50         R[bl[i]]=i;
51     }
52     for(int i=1;i<=tot;i++)if((int)hav[i].size()>B)big.push_back(i),id[i]=++cnt;
53     for(int i=0;i<n;i++)if(id[mp[pre[i]]]){
54         int x=id[mp[pre[i]]];
55         low[x][i+1]++;
56         upp[x][i+2]++;
57     }
58     for(int i=1;i<=cnt;i++){
59         upp[i][0]=1;
60         for(int j=1;j<=n;j++)low[i][j]+=low[i][j-1],upp[i][j]+=upp[i][j-1];
61         b[i].init(low[i][n]);
62     }
63     Q=read();
64     for(int t=1;t<=Q;t++){
65         int l=read(),r=read();
66         qu[r].push_back({l,t});
67     }
68     for(int i=1;i<=n;i++){
69         ll cur=pre[i]-k;
70         if(mp[cur]){
71             int x=mp[cur];
72             int len=hav[x].size();
73             if(len<=B){
74                 for(auto j:hav[x]){
75                     if(j>=i)break;
76                     T.modify(j+1);
77                 }
78             }
79             else{
80                 int y=id[x];
81                 b[y].add(1,low[y][i],1);
82             }
83         }
84         for(auto j:qu[i]){
85             int l=j.first,id=j.second;
86             ans[id]+=T.query(l,i);
87             for(int k=1;k<=cnt;k++)ans[id]+=b[k].query(upp[k][l],low[k][i]);
88         }
89     }
90     for(int i=1;i<=Q;i++)write(ans[i]),putchar('\n');
91     return 0;
92 }

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本文作者：Xttttr
本文链接：https://www.cnblogs.com/Xttttr/p/17725161.html
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