P4412 题解
P4412 题解
简化题意：一张无向图，给定一棵生成树，求最小的修改边权的代价使得这棵生成树是最小生成树，代价定义为修改前后一条边的边权变化量的绝对值。
思路
首先，发现让这棵树成为最小生成树不好直接处理，但是判定是否为最小生成树却相对更容易。判定的思路也很简单，对于每一条非树边 $(x,y)$，树上 $x$ 到 $y$ 的路径上的任意一条边边权都不能超过这条非树边的边权。
显然，树上的边边权一定不会减小，非树边边权一定不会变大。于是对于一条非树边 $y$ 和在树上的一条边 $x$，有 $w_x+|\Delta x|\geqslant w_y-|\Delta y|$，即 $|\Delta x|+|\Delta y|\geqslant w_y-w_x$。那我们把每一条边当做一个点，点权就是原来的边权，发现原问题就是**最小顶标号**问题，直接求二分图最大权完美匹配可以了。
由于不会写KM算法，就写了费用流。
贴一下代码
1 const int N=55,M=1551; 2 int n,m; 3 int e[N][N]; 4 struct node{ 5 int x,y,z; 6 }edge[M]; 7 bool mark[M]; 8 int cnt,ver[M],nxt[M],h[N],w[N],fa[N],eid[N],dep[N],id[N]; 9 namespace Graph{ 10 int cnt=1,ver[M<<6],nxt[M<<6],w[M<<6],c[M<<6],h[M<<1],s,t; 11 inline void add_edge(int x,int y,int z,int cost){ 12 // cout<<x<<" "<<y<<" "<<cost<<endl; 13 cnt++;ver[cnt]=y;nxt[cnt]=h[x];h[x]=cnt;w[cnt]=z;c[cnt]=cost; 14 cnt++;ver[cnt]=x;nxt[cnt]=h[y];h[y]=cnt;w[cnt]=0;c[cnt]=-cost; 15 } 16 int flow[M<<1],dis[M<<1],lst[M<<1],pre[M<<1]; 17 bool vis[M<<1]; 18 inline bool bfsmax(){ 19 queue<int>q; 20 memset(dis,0xc0,sizeof(dis)); 21 memset(flow,0x3f,sizeof(flow)); 22 memset(vis,0,sizeof(vis)); 23 q.push(s);vis[s]=1,dis[s]=0,pre[t]=-1; 24 while(q.size()){ 25 int x=q.front(); 26 q.pop(); 27 vis[x]=0; 28 for(int i=h[x];i;i=nxt[i]){ 29 int y=ver[i]; 30 if(w[i]>0&&dis[y]<dis[x]+c[i]){ 31 dis[y]=dis[x]+c[i]; 32 pre[y]=x;lst[y]=i; 33 flow[y]=min(w[i],flow[x]); 34 if(!vis[y]){ 35 vis[y]=1; 36 q.push(y); 37 } 38 } 39 } 40 } 41 return pre[t]!=-1; 42 } 43 inline int getmax(){ 44 int maxc=0; 45 while(bfsmax()){ 46 if(dis[t]<0)break; 47 maxc+=flow[t]*dis[t]; 48 int cur=t; 49 while(cur!=s){ 50 w[lst[cur]]-=flow[t]; 51 w[lst[cur]^1]+=flow[t]; 52 cur=pre[cur]; 53 } 54 } 55 return maxc; 56 } 57 inline int solve(){ 58 s=0,t=m+1; 59 for(int i=1;i<n;i++)add_edge(s,i,1,0); 60 for(int i=n;i<=m;i++)add_edge(i,t,1,0); 61 return getmax(); 62 } 63 } 64 inline void add_edge(int x,int y,int z){cnt++;ver[cnt]=y;nxt[cnt]=h[x];h[x]=cnt;w[cnt]=z;} 65 inline void dfs(int x){ 66 dep[x]=dep[fa[x]]+1; 67 for(int i=h[x];i;i=nxt[i]){ 68 int y=ver[i]; 69 if(y!=fa[x]){ 70 fa[y]=x; 71 eid[y]=w[i]; 72 dfs(y); 73 } 74 } 75 } 76 inline void modify(int x,int y,int z){ 77 if(dep[x]<dep[y])swap(x,y); 78 while(dep[x]>dep[y]){ 79 Graph::add_edge(id[eid[x]],id[z],1,edge[eid[x]].z-edge[z].z); 80 x=fa[x]; 81 } 82 while(x^y){ 83 Graph::add_edge(id[eid[x]],id[z],1,edge[eid[x]].z-edge[z].z); 84 Graph::add_edge(id[eid[y]],id[z],1,edge[eid[y]].z-edge[z].z); 85 x=fa[x],y=fa[y]; 86 } 87 } 88 int main(){ 89 ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0),cout.tie(0); 90 cin>>n>>m; 91 for(int i=1;i<=m;i++){ 92 int x,y,z; 93 cin>>x>>y>>z; 94 e[x][y]=e[y][x]=i; 95 edge[i]=(node){x,y,z}; 96 } 97 for(int i=1;i<n;i++){ 98 int x,y; 99 cin>>x>>y; 100 mark[e[x][y]]=1; 101 add_edge(x,y,e[x][y]);add_edge(y,x,e[x][y]); 102 } 103 for(int i=1,t1=0,t2=n-1;i<=m;i++){ 104 if(mark[i])id[i]=++t1; 105 else id[i]=++t2; 106 } 107 dfs(1); 108 for(int i=1;i<=m;i++){ 109 if(!mark[i]){ 110 int x=edge[i].x,y=edge[i].y; 111 modify(x,y,i); 112 } 113 } 114 cout<<Graph::solve()<<endl; 115 return 0; 116 }
