P4412 题解

1|0P4412 题解

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简化题意：一张无向图，给定一棵生成树，求最小的修改边权的代价使得这棵生成树是最小生成树，代价定义为修改前后一条边的边权变化量的绝对值。

1|1思路

首先，发现让这棵树成为最小生成树不好直接处理，但是判定是否为最小生成树却相对更容易。判定的思路也很简单，对于每一条非树边 $(x,y)$，树上 $x$ 到 $y$ 的路径上的任意一条边边权都不能超过这条非树边的边权。

显然，树上的边边权一定不会减小，非树边边权一定不会变大。于是对于一条非树边 $y$ 和在树上的一条边 $x$，有 $w_x+|\mathrm{\Delta }x|⩾w_y-|\mathrm{\Delta }y|$，即 $|\mathrm{\Delta }x|+|\mathrm{\Delta }y|⩾w_y-w_x$。那我们把每一条边当做一个点，点权就是原来的边权，发现原问题就是**最小顶标号**问题，直接求二分图最大权完美匹配可以了。

由于不会写KM算法，就写了费用流。

贴一下代码

 

  1 const int N=55,M=1551;
int n,m;
int e[N][N];
struct node{
    int x,y,z;
}edge[M];
bool mark[M];
int cnt,ver[M],nxt[M],h[N],w[N],fa[N],eid[N],dep[N],id[N];
namespace Graph{
    int cnt=1,ver[M<<6],nxt[M<<6],w[M<<6],c[M<<6],h[M<<1],s,t;
    inline void add_edge(int x,int y,int z,int cost){
        // cout<<x<<" "<<y<<" "<<cost<<endl;
 13         cnt++;ver[cnt]=y;nxt[cnt]=h[x];h[x]=cnt;w[cnt]=z;c[cnt]=cost;
        cnt++;ver[cnt]=x;nxt[cnt]=h[y];h[y]=cnt;w[cnt]=0;c[cnt]=-cost;
    }
    int flow[M<<1],dis[M<<1],lst[M<<1],pre[M<<1];
    bool vis[M<<1];
    inline bool bfsmax(){
        queue<int>q;
        memset(dis,0xc0,sizeof(dis));
        memset(flow,0x3f,sizeof(flow));
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        q.push(s);vis[s]=1,dis[s]=0,pre[t]=-1;
        while(q.size()){
            int x=q.front();
            q.pop();
            vis[x]=0;
            for(int i=h[x];i;i=nxt[i]){
                int y=ver[i];
                if(w[i]>0&&dis[y]<dis[x]+c[i]){
                    dis[y]=dis[x]+c[i];
                    pre[y]=x;lst[y]=i;
                    flow[y]=min(w[i],flow[x]);
                    if(!vis[y]){
                        vis[y]=1;
                        q.push(y);
                    }
                }
            }
        }
        return pre[t]!=-1;
    }
    inline int getmax(){
        int maxc=0;
        while(bfsmax()){
            if(dis[t]<0)break;
            maxc+=flow[t]*dis[t];
            int cur=t;
            while(cur!=s){
                w[lst[cur]]-=flow[t];
                w[lst[cur]^1]+=flow[t];
                cur=pre[cur];
            }
        }
        return maxc;
    }
    inline int solve(){
        s=0,t=m+1;
        for(int i=1;i<n;i++)add_edge(s,i,1,0);
        for(int i=n;i<=m;i++)add_edge(i,t,1,0);
        return getmax();
    }
}
inline void add_edge(int x,int y,int z){cnt++;ver[cnt]=y;nxt[cnt]=h[x];h[x]=cnt;w[cnt]=z;}
inline void dfs(int x){
    dep[x]=dep[fa[x]]+1;
    for(int i=h[x];i;i=nxt[i]){
        int y=ver[i];
        if(y!=fa[x]){
            fa[y]=x;
            eid[y]=w[i];
            dfs(y);
        }
    }
}
inline void modify(int x,int y,int z){
    if(dep[x]<dep[y])swap(x,y);
    while(dep[x]>dep[y]){
        Graph::add_edge(id[eid[x]],id[z],1,edge[eid[x]].z-edge[z].z);
        x=fa[x];
    }
    while(x^y){
        Graph::add_edge(id[eid[x]],id[z],1,edge[eid[x]].z-edge[z].z);
        Graph::add_edge(id[eid[y]],id[z],1,edge[eid[y]].z-edge[z].z);
        x=fa[x],y=fa[y];
    }
}
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0),cout.tie(0);
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int x,y,z;
        cin>>x>>y>>z;
        e[x][y]=e[y][x]=i;
        edge[i]=(node){x,y,z};
    }
    for(int i=1;i<n;i++){
        int x,y;
        cin>>x>>y;
        mark[e[x][y]]=1;
        add_edge(x,y,e[x][y]);add_edge(y,x,e[x][y]);
    }
    for(int i=1,t1=0,t2=n-1;i<=m;i++){
        if(mark[i])id[i]=++t1;
        else id[i]=++t2;
    }
    dfs(1);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        if(!mark[i]){
            int x=edge[i].x,y=edge[i].y;
            modify(x,y,i);
        }
    }
    cout<<Graph::solve()<<endl;
    return 0;
}

 

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本文作者：Xttttr
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