整体二分总结

整体二分总结

整体二分，就是一种高效离线处理可二分答案的询问的方法，可以代替例如树套树这种高级数据结构。

例题：

1.P1527 [国家集训队]矩阵乘法

题意：多次询问，求子矩阵第\(k\)小数。

思路：先考虑如果只有一个询问，可以二分答案，把矩阵中小于等于\(mid\)的数赋1，大于的赋0，那么如果子矩阵之和大于等于\(k\)，那么说明答案不小于\(mid\)，反之亦然，这样就可以继续递归下去。同样的，处理很多询问的时候，用二位树状数组维护子矩阵和，把当前子矩阵和大于等于\(k\)的询问传到左区间处理，剩下的传到右区间处理就可以了。

2.P3332 [ZJOI2013]K大数查询

题意：有\(n\)个可重集，有两种操作，一种是把\(x\)插入\(l\)到\(r\)的所有可重集中，一种是查询\(l\)到\(r\)的所有可重集里第\(k\)大的数。

思路：先考虑如果只有一个询问，可以二分答案，把所有\(x>mid\)的插入操作看成给\([l,r]\)区间加1，查询看成求\([l,r]\)的区间和，如果区间和大于等于\(k\)就说明答案在\([mid+1,r]\)中。一般的情况也可以类似处理。

3.P3527 [POI2011]MET-Meteors

题意：有一个环，每个时刻会有一段区间加\(a_i\)，每个点属于一个集合，对于每个集合，求这个集合包含的所有点的和第一次不小于\(lim_i\)的时刻。

思路：先考虑如果只有一个询问，可以二分答案，如果\([1,mid]\)时刻操作玩答案大于\(lim_i\)，就说明答案在\([1,mid]\)中，对于一般的情况也是如此。

4.P7424 [THUPC2017] 天天爱射击

题意：有\(n\)个区间和\(m\)个操作，每个操作会把所有覆盖了\(x\)的区间的权值+1，每个区间有一个参数\(lim\)，求出每个区间的权值第一次到达\(lim\)的时刻。

思路：发现题意就是单点加，和查询一个区间和第一次到达\(k\)的时刻，于是考虑整体二分，用树状数组实现单点加和区间查询即可。

5.P7560 [JOISC 2021 Day1] フードコート

题意：有\(n\)个序列，标号从\(1\)到\(n\)，有3种操作，一是给区间\([l,r]\)内的每个数列后面加入\(x\)个数\(k\)，二是把\([l,r]\)内每个数列的前\(k\)个数删除，三是查询第\(x\)个数列的第\(k\)个数。

思路：发现求出每个查询对应的\(k\)是不算第二种操作时的第几个数，就可以直接用静态区间第\(k\)小的思路求解。于是问题转化为了怎么求是第几个数。可以很简单的转化为：总共来过的人数-当前还剩的人数+\(k\)，而求出当前还剩的人数可以用线段树维护（区间加，区间取\(max\)），于是就做完了。