整体二分总结

1|0整体二分总结

整体二分，就是一种高效离线处理可二分答案的询问的方法，可以代替例如树套树这种高级数据结构。

1|0例题：

题意：多次询问，求子矩阵第 $k$ 小数。

思路：先考虑如果只有一个询问，可以二分答案，把矩阵中小于等于 $m i d$ 的数赋1，大于的赋0，那么如果子矩阵之和大于等于 $k$ ，那么说明答案不小于 $m i d$ ，反之亦然，这样就可以继续递归下去。同样的，处理很多询问的时候，用二位树状数组维护子矩阵和，把当前子矩阵和大于等于 $k$ 的询问传到左区间处理，剩下的传到右区间处理就可以了。

2.P3332 [ZJOI2013]K大数查询

题意：有 $n$ 个可重集，有两种操作，一种是把 $x$ 插入 $l$ 到 $r$ 的所有可重集中，一种是查询 $l$ 到 $r$ 的所有可重集里第 $k$ 大的数。

思路：先考虑如果只有一个询问，可以二分答案，把所有 $x > m i d$ 的插入操作看成给 $[l, r]$ 区间加1，查询看成求 $[l, r]$ 的区间和，如果区间和大于等于 $k$ 就说明答案在 $[m i d + 1, r]$ 中。一般的情况也可以类似处理。

3.P3527 [POI2011]MET-Meteors

题意：有一个环，每个时刻会有一段区间加 $a_{i}$ ，每个点属于一个集合，对于每个集合，求这个集合包含的所有点的和第一次不小于 $l i m_{i}$ 的时刻。

思路：先考虑如果只有一个询问，可以二分答案，如果 $[1, m i d]$ 时刻操作玩答案大于 $l i m_{i}$ ，就说明答案在 $[1, m i d]$ 中，对于一般的情况也是如此。

4.P7424 [THUPC2017] 天天爱射击

题意：有 $n$ 个区间和 $m$ 个操作，每个操作会把所有覆盖了 $x$ 的区间的权值+1，每个区间有一个参数 $l i m$ ，求出每个区间的权值第一次到达 $l i m$ 的时刻。

思路：发现题意就是单点加，和查询一个区间和第一次到达 $k$ 的时刻，于是考虑整体二分，用树状数组实现单点加和区间查询即可。

5.P7560 [JOISC 2021 Day1] フードコート

题意：有 $n$ 个序列，标号从 $1$ 到 $n$ ，有3种操作，一是给区间 $[l, r]$ 内的每个数列后面加入 $x$ 个数 $k$ ，二是把 $[l, r]$ 内每个数列的前 $k$ 个数删除，三是查询第 $x$ 个数列的第 $k$ 个数。

思路：发现求出每个查询对应的 $k$ 是不算第二种操作时的第几个数，就可以直接用静态区间第 $k$ 小的思路求解。于是问题转化为了怎么求是第几个数。可以很简单的转化为：总共来过的人数-当前还剩的人数+ $k$ ，而求出当前还剩的人数可以用线段树维护（区间加，区间取 $m a x$ ），于是就做完了。

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本文作者：Xttttr
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