2023联合省选题解

1|02023联合省选题解

1|1火车站

签到题。

可以发现，一段被覆盖的区间上任意两点联通，因此用差分维护连续段即可。

int main(){
    n=read(),m=read(),x=read();
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int l=read(),r=read();
        bl[l]=1;
        br[r]=1;
        c[l]++,c[r+1]--;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        c[i]+=c[i-1];
        if(c[i]){
            if((c[i]==1&&bl[i])||!c[i-1])tot++,L[tot]=R[tot]=i;
            else if(c[i-1])R[tot]=i;
        }
        else tot++,L[tot]=R[tot]=i;
        id[i]=tot;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(id[i]==id[x]&&((i<x&&bl[i])||(i>x&&br[i]))&&i!=x)write(i),putchar(' ');
    }
    return 0;
}

1|2城市建造

首先有一些性质。如果两个点被选择，那么如果有一条简单路径连接这两个点，这条路上的所有点都要被选择。由此可以推出，如果一个点双里面选了两个点，那么整个点双都要被选择。因此，建出圆方树，钦定选一个方点表示选择了整个点双，那么我们最终选出的一定是方点的连通块，且删掉这些方点后每个连通块的大小之差不大于$k$。

接着可以想到枚举连通块大小$d$来计数，而可以证明合法的d是$\lfloor \frac{n}{i}\rfloor$或$\lfloor \frac{n}{i}\rfloor -1$，因此只有$n\sqrt{n}$种。

然后我们考虑如何计数。

设$f_i$表示：如果$i$是圆点，删掉它的父亲方点的方案数；如果是方点，删掉它自己的方案数。

当$k=0$时，可以证明答案一定是0/1，因此对于一个点$x$的儿子$y$，有：如果$x$时方点，$f_x=\prod f_y$；如果$x$是圆点，只有$si{z}_y<d$的$si{z}_y$之和为$d-1$，且所有$siz>=d$的$f_y$都为1时，$f_x=1$，否则为0。

当$k=1$时，多的情况是如果没有$si{z}_y<d$的点，那么每一个$si{z}_y=d$的$y$都可以和$x$在同意连通块内，会多产生一种情况，直接加上即可。

namespace RST{
    int cnt,ver[N<<1],nxt[N<<1],h[N],d,dfn[N];
    bool isd[N];
    inline void add_edge(int x,int y){
        cnt++;ver[cnt]=y;nxt[cnt]=h[x];h[x]=cnt;
        cnt++;ver[cnt]=x;nxt[cnt]=h[y];h[y]=cnt;
    }
    int siz[N],maxn,rt,cntdfn,id[N];
    inline void getrt(int x,int fa){
        siz[x]=(x<=n);
        int maxsiz=1;
        for(int i=h[x];i;i=nxt[i]){
            int y=ver[i];
            if(y==fa)continue;
            getrt(y,x);
            siz[x]+=siz[y];
            maxsiz=max(maxsiz,siz[y]);
        }
        maxsiz=max(maxsiz,n-siz[x]);
        if(maxsiz<maxn&&x<=n)rt=x,maxn=maxsiz;
    }
    inline void dfs(int x,int fa){
        cntdfn++;
        dfn[x]=cntdfn;
        id[cntdfn]=x;
        siz[x]=(x<=n);
        for(int i=h[x];i;i=nxt[i]){
            int y=ver[i];
            if(y==fa)continue;
            dfs(y,x);
            siz[x]+=siz[y];
        }
    }
    int f[N];
    inline void dfs1(){
        for(int i=tot;i>=1;i--){
            int x=id[i];
            f[x]=0;
            if(siz[x]<d)continue;
            bool flag1=0,flag2=1;
            int sum=1;
            for(int i=h[x];i;i=nxt[i]){
                int y=ver[i];
                if(dfn[y]<dfn[x])continue;
                if(x<=n){
                    if(siz[y]>=d)flag1|=(f[y]==0);
                    else sum+=siz[y];
                }
                else flag2&=f[y];
            }
            if(x<=n){
                if(!flag1&&sum==d)f[x]=1;
                else f[x]=0;
            }
            else f[x]=flag2;
            if(siz[x]>d+1&&f[x]==0){
                f[rt]=0;
                break;
            }
        }
    }
    inline void dfs2(){
        for(int i=tot;i>=1;i--){
            int x=id[i];
            f[x]=0;
            if(siz[x]<d)continue;
            int prod=1,sum=1,cnt=0;
            for(int i=h[x];i;i=nxt[i]){
                int y=ver[i];
                if(dfn[y]<dfn[x])continue;
                if(x<=n){
                    if(siz[y]<d)sum+=siz[y];
                    else if(siz[y]>d)prod=1ll*prod*f[y]%mod;
                    else{
                        if(f[y]==0)sum+=siz[y];
                        else cnt++;
                    }
                }
                else{
                    prod=1ll*prod*f[y]%mod;
                }
            }
            if(x<=n){
                if(d<=sum&&sum<=d+1)f[x]=prod;
                if(sum==1)f[x]=(f[x]+1ll*cnt*prod%mod)%mod;
            }
            else f[x]=prod;
            if(siz[x]>d+1&&f[x]==0){
                f[rt]=0;
                break;
            }
        }
    }
    inline void solve(){
        maxn=tot;
        getrt(1,0);
        dfs(rt,0);
        int ans=0;
        for(int i=2;i<=n;i++){
            isd[n/i]=1;
            if(n%i==0)isd[n/i-1]=1;
        }
        for(d=1;d<=n/2;d++){
            if(!isd[d])continue;
            if(k==0&&(n%d!=0))continue;
            int res=0;
            if(k==0)dfs1(),res=f[rt];
            else{
                dfs2();
                res=f[rt];
                if(n%(d+1)==0){
                    d++;
                    dfs1();
                    res=(res-f[rt]+mod)%mod;
                    d--;
                }
            }
            ans=(ans+res)%mod;
        }
        cout<<ans<<endl;
    }
}

1|3人员调度

GBT跑的还没别人树剖快，我写它干嘛

把原来的操作改成：树上每个点先有$si{z}_x$的容量，每加一个工厂就把$x$到根路径上的容量减1，如果加入后有-1了就把深度最大的为-1的点的子树里贡献最小的工厂的贡献减掉，这样就可以很好用树剖维护。我们发现不好处理删除操作，于是考虑按时间轴分治，这样就可以很好解决删除的问题。

瓶颈在于复杂度是$O(n{\log }^{3}n)$的，于是就考虑使用全局平衡二叉树把树剖降成单log，这样就是$O(n{\log }^{2}n)$的。

inline void dfs(int x){
    siz[x]=1;
    be[x]=cntk+1;
    for(auto i:v[x])id[i]=++cntk;
    for(auto y:e[x]){
        dfs(y);
        siz[x]+=siz[y];
        if(siz[y]>siz[son[x]])son[x]=y;
    }
    en[x]=cntk;
}
namespace splay{
    int ch[N][2],minn[N],lz[N],fa[N];
    inline void pt(){
        for(int i=1;i<=n;i++)cout<<i<<" "<<fa[i]<<" "<<ch[i][0]<<" "<<ch[i][1]<<" "<<lz[i]<<" "<<minn[i]<<endl;
        cout<<endl;
    }
    inline void init(){minn[0]=lz[0]=1e9;}
    inline void link(int x,int y,int op){
        fa[x]=y;
        if(op!=-1&&y)ch[y][op]=x;
    }
    inline void upd(int rt){minn[rt]=min(0,min(minn[ch[rt][0]],minn[ch[rt][1]]))+lz[rt];}
    inline bool isroot(int rt){return ch[fa[rt]][0]!=rt&&ch[fa[rt]][1]!=rt;}
    inline void modify(int rt,int x){
        while(rt){
            lz[rt]+=x;
            if(ch[rt][1]){
                lz[ch[rt][1]]-=x;upd(ch[rt][1]);
            }
            while(!isroot(rt)){
                if(ch[fa[rt]][1]==rt)lz[fa[rt]]+=x,lz[rt]-=x;
                upd(rt),rt=fa[rt];
            }
            upd(rt);
            rt=fa[rt];
        }
    }
    inline int calc(int rt){
        int ans=lz[rt];
        while(!isroot(rt))rt=fa[rt],ans+=lz[rt];
        return ans;
    }
    inline int query(int rt){
        while(rt){
            int cur=calc(rt);
            if(cur==-1)return rt;
            else if(minn[ch[rt][0]]+cur==-1){
                rt=ch[rt][0];cur+=lz[rt];
                while(207){
                    if(minn[ch[rt][1]]+cur==-1)rt=ch[rt][1];
                    else if(cur==-1)return rt;
                    else rt=ch[rt][0];
                    cur+=lz[rt];
                }
            }
            while(!isroot(rt)){
                cur-=lz[rt];
                if(ch[fa[rt]][1]==rt){
                    if(cur==-1)return fa[rt];
                    else if(minn[ch[fa[rt]][0]]+cur==-1){
                        rt=ch[fa[rt]][0],cur+=lz[rt];
                        while(207){
                            if(minn[ch[rt][1]]+cur==-1)rt=ch[rt][1];
                            else if(cur==-1)return rt;
                            else rt=ch[rt][0];
                            cur+=lz[rt];
                        }
                    }
                }
                rt=fa[rt];
            }
            rt=fa[rt];
        }
        return 0;
    }
}
inline void build(int l,int r,int fa,int op){
    ll sum=0,cur=0,maxn=0;
    for(int i=l;i<=r;i++)sum+=lsiz[qu[i]];
    int ans=l;
    maxn=sum-lsiz[qu[l]];
    for(int i=l;i<=r;i++){
        ll tmp=sum-cur-lsiz[qu[i]];
        if(max(tmp,cur)<maxn)maxn=max(tmp,cur),ans=i;
        cur+=lsiz[qu[i]];
    }
    if(op==-1)splay::link(qu[ans],fa,-1);
    else splay::link(qu[ans],fa,op);
    if(l<ans)build(l,ans-1,qu[ans],0);
    if(ans<r)build(ans+1,r,qu[ans],1);
}
inline void dfs1(int x,int topp){
    for(auto y:e[x]){
        if(y!=son[x])dfs1(y,y);
    }
    lsiz[x]=siz[x]-siz[son[x]];
    if(son[x])dfs1(son[x],topp);
    if(x==topp){
        cntson=0;
        for(int i=x;i;i=son[i])qu[++cntson]=i;
        build(1,cntson,fa[x],-1);
    }
}
#define ls (rt<<1)
#define rs (rt<<1|1)
#define mid ((l+r)>>1)
namespace seg{
    int minn[M<<2];
    inline int chkmin(int x,int y){
        if(!x||!y)return x+y;
        return q[x].val<=q[y].val?x:y;
    }
    inline void upd(int rt){minn[rt]=chkmin(minn[ls],minn[rs]);}
    inline void modify(int rt,int l,int r,int x,int k){
        if(!x)return;
        if(l==r){
            minn[rt]=k;return;
        }
        if(x<=mid)modify(ls,l,mid,x,k);
        else modify(rs,mid+1,r,x,k);
        upd(rt);
    }
    inline int query(int rt,int l,int r,int L,int R){
        if(L>R)return 0;
        if(L<=l&&r<=R)return minn[rt];
        if(R<=mid)return query(ls,l,mid,L,R);
        else if(mid<L)return query(rs,mid+1,r,L,R);
        else return chkmin(query(ls,l,mid,L,mid),query(rs,mid+1,r,mid+1,R));
    }
}
#undef ls
#undef rs
#undef mid
struct option{
    int op,x,y;
}st[N*5];
int tp;
inline void ins(int x){
    res+=q[x].val;
    splay::modify(q[x].x,-1),st[++tp]=(option){1,q[x].x,1};
    seg::modify(1,1,tot,id[x],x),st[++tp]=(option){2,x,0};
    int cur=splay::query(q[x].x);
    if(cur){
        int y=seg::query(1,1,tot,be[cur],en[cur]);
        res-=q[y].val;
        splay::modify(q[y].x,1),st[++tp]=(option){1,q[y].x,-1};
        seg::modify(1,1,tot,id[y],0),st[++tp]=(option){2,y,y};
    }
}
inline void init(int x){
    while(tp!=x){
        if(st[tp].op==1){
            splay::modify(st[tp].x,st[tp].y);
        }
        else{
            if(st[tp].y==0)res-=q[st[tp].x].val;
            else res+=q[st[tp].x].val;
            seg::modify(1,1,tot,id[st[tp].x],st[tp].y);
        }
        tp--;
    }
}
inline void solve(int l,int r,vector<int>cur){
    int mid=(l+r)>>1,tmp=tp;
    vector<int>ql,qr;
    for(auto i:cur){
        if(q[i].l<=l&&r<=q[i].r)ins(i);
        else if(l!=r){
            if(q[i].l<=mid&&q[i].r>=l)ql.push_back(i);
            if(q[i].l<=r&&q[i].r>mid)qr.push_back(i);
        }
    }
    if(l==r)ans[l]=res;
    else solve(l,mid,ql),solve(mid+1,r,qr);
    init(tmp);
}
int main(){
    sid=read();
    n=read(),k=read(),m=read();
    for(int i=2;i<=n;i++)fa[i]=read(),add_edge(fa[i],i);
    tot=k;
    for(int i=1;i<=k;i++){
        q[i].l=1;q[i].x=read(),q[i].val=read();q[i].r=m+1;
    }
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int op=read();
        if(op==1){
            tot++;
            q[tot].x=read(),q[tot].val=read();q[tot].l=i+1;q[tot].r=m+1;
        }
        else{
            int x=read();
            q[x].r=i;
        }
    }
    for(int i=1;i<=tot;i++)v[q[i].x].push_back(i);
    dfs(1);dfs1(1,1);
    splay::init();
    for(int i=1;i<=n;i++)splay::modify(i,1);
    vector<int>cur;
    for(int i=1;i<=tot;i++)cur.push_back(i);
    solve(1,tot,cur);
    for(int i=1;i<=m+1;i++)write(ans[i]),putchar(' ');
    return 0;
}

1|4过河卒

发现$n,m⩽10$，总状态数$(nm{)}^3⩽{10}^6$，于是可以考虑把状态记录下来，用广搜解决。

具体地，先从初始状态开始广搜，标记所有胜负确定的状态，然后倒着连边，跑一遍类拓扑（只要胜负态确定就入队）就可以求出答案。

struct node{
    int a,b,c,d,e,f;bool flag;
    inline void pt(){cout<<a<<b<<c<<d<<e<<f<<flag<<endl;}
    node(){}
    node(int i,int j,int k,int l,int m,int n,bool fl):a(i),b(j),c(k),d(l),e(m),f(n),flag(fl){}
}ori;
inline void work(node &x){
    if(x.c*n+x.d>x.e*n+x.f)swap(x.c,x.e),swap(x.d,x.f);
}
inline int getid(node x){return x.a*100000+x.b*10000+x.c*1000+x.d*100+x.e*10+x.f-111111;}
inline bool checkb(int x,int y){return x>=1&&x<=n&&y>=1&&y<=m&&mp[x][y]!='#';}
inline bool checkr(int x,int y,int a,int b){return x>=1&&x<=n&&y>=1&&y<=m&&mp[x][y]!='#'&&(x!=a||y!=b);}
struct Queue{
    int l,r;
    int q[M<<1];
    inline void clear(){l=1,r=0;}
    inline void push(int x){r++;q[r]=x;}
    inline void pop(){l++;}
    inline int front(){return q[l];}
    inline bool empty(){return l>r;}
}Q;
struct Queue1{
    int l,r;
    node q[M<<1];
    inline void clear(){l=1,r=0;}
    inline void push(node x){r++;q[r]=x;}
    inline void pop(){l++;}
    inline node front(){return q[l];}
    inline bool empty(){return l>r;}
}q;
inline void init(){
    q.clear(),Q.clear();
    memset(vis,0,sizeof(vis));memset(win,0,sizeof(win)),memset(in,0,sizeof(in));memset(hav,0,sizeof(hav));memset(ans,0,sizeof(ans));
    posx1=posy1=0;
    for(int i=1;i<=1000005;i++)edge[i].clear();
}
inline void bfs(){
    q.push(ori);
    vis[getid(ori)]=1;
    while(!q.empty()){
        node x=q.front();
        q.pop();
        int a=x.a,b=x.b,c=x.c,d=x.d,e=x.e,f=x.f,id=getid(x);bool flag=x.flag;
        if(flag){
            if((a==c&&b==d)||(a==e&&b==f)){
                Q.push(id),hav[id]=1;
                continue;
            }
            bool flag1=0;
            for(int i=0;i<3;i++){
                int xx=a+dir[i][0],yy=b+dir[i][1];
                if(checkb(xx,yy)){
                    node cur=x;cur.a=xx,cur.b=yy,cur.flag=flag^1;
                    edge[getid(cur)].push_back(id);in[id]++;
                    if(!vis[getid(cur)]){
                        vis[getid(cur)]=1;
                        q.push(cur);
                    }
                    flag1=1;
                }
            }
            if(!flag1)Q.push(id),hav[id]=1;
        }
        else{
            if((a==c&&b==d)||(a==e&&b==f)||a==1){
                Q.push(id),hav[id]=1;
                continue;
            }
            bool flag1=0;
            for(int i=0;i<4;i++){
                int xx=c+dir[i][0],yy=d+dir[i][1];
                if(checkr(xx,yy,e,f)){
                    node cur=x;cur.c=xx,cur.d=yy,cur.flag=flag^1;
                    work(cur);
                    edge[getid(cur)].push_back(id);in[id]++;
                    if(!vis[getid(cur)]){
                        vis[getid(cur)]=1;
                        q.push(cur);
                    }
                    flag1=1;
                }
            }
            for(int i=0;i<4;i++){
                int xx=e+dir[i][0],yy=f+dir[i][1];
                if(checkr(xx,yy,c,d)){
                    node cur=x;cur.e=xx,cur.f=yy,cur.flag=flag^1;
                    work(cur);
                    edge[getid(cur)].push_back(id);in[id]++;
                    if(!vis[getid(cur)]){
                        vis[getid(cur)]=1;
                        q.push(cur);
                    }
                    flag1=1;
                }
            }
            if(!flag1)Q.push(id),hav[id]=1;
        }
    }
    int oriid=getid(ori);
    while(!Q.empty()){
        int x=Q.front();
        Q.pop();
        if(oriid==x)break;
        for(auto y:edge[x]){
            if(!win[x]){
                if(!win[y]){
                    win[y]=1;
                    ans[y]=ans[x]+1;
                    hav[y]=1;
                    Q.push(y);
                }
                else{
                    ans[y]=min(ans[y],ans[x]+1);
                    in[y]--;
                }
            }
            else{
                if(!win[y]){
                    ans[y]=max(ans[y],ans[x]+1);
                    in[y]--;
                    if(!in[y])hav[y]=1,Q.push(y);
                }else{
                    in[y]--;
                }
            }
        }
    }
    if(!hav[oriid])printf("Tie\n");
    else if(win[oriid])printf("Red %d\n",ans[oriid]);
    else printf("Black %d\n",ans[oriid]);
}
inline void solve(){
    init();
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++)cin>>mp[i][j];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++){
            if(mp[i][j]=='X')posxx=i,posxy=j;
            else if(mp[i][j]=='O'){
                if(!posx1)posx1=i,posy1=j;
                else posx2=i,posy2=j;
            }
        }
    }
    ori=node(posxx,posxy,posx1,posy1,posx2,posy2,0);
    bfs();
}

1|5填数游戏

题意转化为：每个$T_{i,0}$与$T_{i,1}$之间连边，根据$|S_i\cap T_i|$的大小每条边有定向的代价和能否定某种方向，每个点最多被一条边指定，Alice要选择一种方案使得Bob的所有合法定向方案中代价最小值最大。

因为每个点最多被一条边指定，所以有$|V|⩾|E|$，因此每个连通块只能是基环树或者树。

先考虑基环树，对于不在环上的边，只能是叶向的，而且环上的边的方向必须一致，所以只有两种情况，很容易计算。

再考虑树的情况，Bob的选择一定是形如钦定一个点为根，所有边都是相对这个点叶向的，这样一共有$|V|$种方案。考虑从一个点到儿子时子树外的最小值-1，子树内加1，可以使用换根DP实现。

总复杂度$O(n+m)$。

namespace circle{
    inline int solve(){
        queue<int>q;
        int pos=0,ans=0;
        for(auto i:cir){
            deg[i]=in[i];
            if(deg[i]==1)q.push(i);
            else pos=i;
        }
        while(!q.empty()){
            int x=q.front();
            q.pop();cntv--;
            for(int i=h[x];i;i=nxt[i]){
                int y=ver[i];
                if(deg[y]>1){
                    ans+=(w[i]==0||w[i]==2);
                    if(--deg[y]==1)q.push(y);
                    else pos=y;
                }
            }
        }
        if(cntv==1){
            for(int i=h[pos];i;i=nxt[i]){
                int y=ver[i];
                if(y==pos){
                    ans+=w[i]>=0;
                    break;
                }
            }
        }
        else{
            int cnt[3],cur=pos,lst=0;
            cnt[0]=cnt[1]=cnt[2]=0;
            while(cntv--){
                for(int i=h[cur];i;i=nxt[i]){
                    int y=ver[i];
                    if(deg[y]==1||id[i]==lst)continue;
                    if(w[i]>=0)cnt[w[i]]++;
                    cur=y;lst=id[i];
                    break;
                }
            }
            if(cnt[0]>cnt[1])swap(cnt[0],cnt[1]);
            if(cnt[0]+cnt[2]<=cnt[1])ans+=cnt[0]+cnt[2];
            else ans+=(cnt[0]+cnt[1]+cnt[2])/2;
        }
        return ans;
    }
}
namespace tree{
    int f[N],g[N],mn[N],mnn[N],ming[N];
    inline void dfs1(int x,int fa){
        f[x]=g[x]=mn[x]=mnn[x]=ming[x]=0;
        for(int i=h[x];i;i=nxt[i]){
            int y=ver[i];
            if(y==fa)continue;
            dfs1(y,x);
            f[x]+=f[y];
            if(w[i]>0)f[x]++;
            int cur=mn[y];
            if(w[i]==0)cur++;
            if(w[i]>0)cur--;
            if(cur<mn[x])mnn[x]=mn[x],mn[x]=cur;
            else if(cur<mnn[x])mnn[x]=cur;
        }
    }
    inline void dfs2(int x,int fa){
        ming[x]=min(ming[x],0);
        for(int i=h[x];i;i=nxt[i]){
            int y=ver[i];
            if(y==fa)continue;
            g[y]=g[x]+f[x]-f[y]-(w[i]>0);
            if(w[i]==0||w[i]==2)g[y]++;
            int cur=mn[y];
            if(w[i]==0)cur++;
            if(w[i]>0)cur--;
            ming[y]=min(ming[x],cur==mn[x]?mnn[x]:mn[x]);
            if(w[i]==0||w[i]==2)ming[y]--;
            if(w[i]==1)ming[y]++;
            dfs2(y,x);
        }
    }
    inline int solve(){
        dfs1(cir[0],0);dfs2(cir[0],0);
        int ans=0;
        for(auto i:cir)ans=max(ans,f[i]+g[i]+min(mn[i],ming[i]));
        return ans;
    }
}

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本文作者：Xttttr
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