长链剖分总结

1|0长链剖分总结

长链剖分，顾名思义，就是按照链长（即深度）把树剖成若干条链。具体的，定义每个点的儿子中，子树深度最大的点是重儿子，不断跳重儿子形成的链也就是长链。

1|0长链剖分的性质：

1.从一个点向上跳长链的次数不会超过 $\sqrt{n}$ 次。

证明：考虑每跳到一条新的链上，这条链一定比前一条链长，而最坏情况下，才有长链长度分别为 $1, 2, 3, \dots \sqrt{n}$ ，因此最多不会跳超过 $\sqrt{n}$ 条长链。

2.任意一个点的 $k$ 级祖先所在的长链的长度大于等于 $k$

证明：如果 $k$ 级祖先所在的链长度小于 $k$ ，又因为这个点到 $k$ 级祖先这条链已经长于原先的长链了，而这是不可能的，故任意一个点的 $k$ 级祖先所在的长链的长度大于等于 $k$ 。

1|1长链剖分的应用

1|01.O(nlog⁡n)−O(1)求树上k级祖先

根据刚刚的性质，我们令 $k^{'} = \frac{k}{2}$ ，那么 $x$ 的 $k^{'}$ 级祖先所在的长链长度不小于 $k^{'}$ ，那么就可以知道 $x$ 的 $k$ 级祖先在条长链上了，然后我们预处理出倍增数组和小于链长次祖先，询问时就可以做到 $O (1)$ 了。

例题：

【模板】树上 k 级祖先

1|02.优化和深度有关的树形DP

思路类似 $dsu on tree$ ,每次从重儿子那里继承信息，再额外计算轻儿子的贡献。

例题：

1.CF1009F Dominant Indices

题意：给定一棵有 $n$ 个节点的树，设 $d (x, k)$ 为点 $x$ 的子树内与 $x$ 距离为 $k$ 的点数，对于每个点，求出使 $d (x, k)$ 最大的 $k$ 中最小的一个。

思路：考虑一个 $O (n^{2})$ 的DP，设 $f_{x, i}$ 表示 $x$ 的子树里与 $x$ 距离为 $i$ 的点的个数，转移时 $f_{x, i} \leftarrow f_{y, i - 1}$ 。我们尝试优化，即先从重儿子那里继承信息，再把轻儿子的信息暴力合并上去。我们可以发现，如果只看重儿子的话，那么就相当于把 $f_{y}$ 错位对应上了 $f_{x}$ ，那我们就可以利用一种特殊的技巧，即动态分配DP数组的内存。具体来讲，我们为每条长链链顶申请长为链长的空间，然后链上的所有点共用这部分空间，即 $f_{y}$ 的起点是 $f_{u} + 1$ ，那这样就可以把时间和空间都减到 $O (n)$ 的量级。这时我们再考虑把轻儿子的答案，合并上来，这样的复杂度也是 $O (n)$ 的，因为每一条长链只会被合并一次，而且每一次合并是 $O (l e n)$ 的（len是链长），总共加起来就是 $O (n)$ 的。这样我们就成功地把 $O (n^{2})$ 优化到了 $O (n)$ 。

2.[POI2014]HOT-Hotels

题意：求树上选择两两距离相等的3个点的方案数。

思路：先考虑朴素DP。设 $f_{x, i}$ 表示点 $x$ 的子树内与 $x$ 距离为 $i$ 的点的数量， $g_{x, i}$ 表示 $x$ 的子树内满足 $d (u, l c a (u, v)) = d (v, l c a (u, v)) = d (x, l c a (u, v)) + i$ 的点对数量，因此有转移：

a n s \leftarrow f_{x, i - 1} \times g_{y, i}, a n s \leftarrow g_{x, i + 1} \times f_{y, i}, f_{x, i} \leftarrow f_{y, i - 1}, g_{x, i + 1} \leftarrow g_{y, i} + f_{x, i + 1} \times f_{y, i}

可以发现， $f_{x}, g_{x}$ 可以像上一道题一样直接从 $f_{y}, g_{y}$ 移一位得到，那自然也可以用动态分配内存来优化，只是注意 $g_{s o n_{x}} = g_{x} - 1$ 意味着之前要多申请一倍空间。

3.[湖南集训]更为厉害

题意：多次询问，给定 $a, k$ ，求树上满足 $d i s (a, b) ⩽ k$ ，且 $a, b$ 都是 $c$ 的祖先的点对 $(b, c)$ 的数量。

思路：这道题有114514种做法，之前用的是 $O (n \log n)$ 的离线树状数组的做法，这里给出一个长剖的 $O (n)$ 的做法。

首先考虑 $b$ 不在 $a$ 子树里的情况，这时 $b$ 只能是 $a$ 的祖先，那答案自然就是 $min (d e p [x] - 1, k) \times (s i z [a] - 1)$ 。

然后就是 $b$ 再 $a$ 子树里的情况，这时的贡献就是 $\sum_{d i s (a, b) ⩽ k} s i z [b] - 1$ ，看起来这个东西也可以类似地维护，只是需要维护长链上的后缀和，这样转移时就可以直接错位继承了。复杂度 $O (n)$ 。

__EOF__

本文作者：Xttttr
本文链接：https://www.cnblogs.com/Xttttr/p/17262667.html
关于博主：评论和私信会在第一时间回复。或者直接私信我。
版权声明：本博客所有文章除特别声明外，均采用 BY-NC-SA 许可协议。转载请注明出处！
声援博主：如果您觉得文章对您有帮助，可以点击文章右下角【推荐】一下。您的鼓励是博主的最大动力！