杜教筛

1|0杜教筛

1|0前置知识

积性函数：对于任意的$gcd(i,j)=1$，$f(i)\times f(j)=f(ij)$。

完全积性函数：对于任意的$i,j$，$f(i)\times f(j)=f(ij)$。

$ϵ(x)=[x==1]$，$I(x)=1$，$id(x)=x$，${\sigma }_k(x)=\sum _{d|x}{d}^k$。

1|0狄利克雷卷积

$(f\ast g)(n)=\sum _{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})$。

推论：

1.$\mu \ast I=ϵ$

证明：当$n=1$时上式显然为1，当$n>1$时，根据唯一分解定理，设$n=p_1^{a_1}{p}_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}$，根据$\mu$的定义，若$a_i>1$则$\mu (d)$为0，则$\sum _{d|n}\mu (d)=\sum _{i=0}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{i})(-1{)}^i=(1-1{)}^k=0$

2.$\phi \ast I=id$

证明：当$n=p^m$时，$\sum _{d|n}\phi (d)=\phi (1)+\sum _{i=1}^m\phi (p^i)=1+\sum _{i=1}^m(p^i-p^{i-1})=p^m=n$

当$n$为任意整数时，令$n=\prod p^m$，则$(\phi \ast I)(\prod p^m)=\prod (\phi \ast I)(p)=\prod p^m=n$

3.$\mu \ast id=\phi$

证明：

$$id=\phi \ast I$$

$$\mu \ast id=\phi \ast (I\ast \mu )$$

$$\mu \ast id=\phi \ast ϵ=\phi$$

1|0莫比乌斯反演

若

$$g(n)=\sum _{d|n}f(d)$$

则

$$f(n)=\sum _{d|n}\mu (d)g(\frac{n}{d})$$

证明：因为$g=(f\ast I)$，所以$g\ast \mu =f\ast I\ast \mu =f\ast (I\ast \mu )=f\ast ϵ=f$

1|1杜教筛

杜教筛是用来快速求积性函数前缀和的方法。具体来说，我们设$S(n)=\sum _{i=1}^{n}f(i)$，再找一个积性函数$g(x)$，考虑$(f\ast g)$的前缀和

$$\sum _{i=1}^n(f\ast g)(i)=\sum _{i=1}^n\sum _{d|i}f(d)g(\frac{i}{d})=\sum _{d=1}^{n}g(d)\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }f(i)=\sum _{d=1}^{n}g(d)S(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor )$$

我们把$g(1)S(n)$提出来，就是$g(1)S(n)=\sum _{i=1}^{n}g(i)S(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor )-\sum _{i=2}^{n}g(i)S(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor )$，我们发现，前一项$\sum _{i=1}^{n}g(i)S(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor )$由前面推导可知为$\sum _{i=1}^n(f\ast g)(i)$，于是得到了杜教筛的核心式子：

$$g(1)S(n)=\sum _{i=1}^n(f\ast g)(i)-\sum _{i=2}^{n}g(i)S(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor )$$

这就意味着，只要我们找到一个可以快速计算$(f\ast g)$的前缀和的$g(x)$，我们就可以用数论分块递归求解$S(n)$，时间复杂度是$O(n^{\frac{3}{4}})$，如果我们预处理前$n^{\frac{2}{3}}$个答案，我们就可以把复杂度降到$O(n^{\frac{2}{3}})$。

1|0一些应用

1.求$\mu$的前缀和

因为$\mu \ast I=ϵ$，所以把$I(x)$当做$g(x)$即可，而且前缀和超好求。

代码：

inline int calcmu(int x){
    if(x<=M)return summu[x];
    if(mp.find(x)!=mp.end())return mp[x];
    int ans=1;
    for(int l=2,r;l<=x;l=r+1){
        r=x/(x/l);
        ans=(ans-(r-l+1)%p*calcmu(x/l)%p)%p+p)%p;
    }
    return mp[x]=ans;
}

2.求$\phi$的前缀和

因为$\phi \ast I=id$，所以把$I(x)$当做$g(x)$即可。

代码：

inline int calcphi(int x){
    if(x<=M)return sumphi[x];
    if(mp.find(x)!=mp.end())return mp[x];
    int ans=x*(x+1)/2%p;
    for(int l=2,r;l<=x;l=r+1){
        r=x/(x/l);
        ans=(ans-((r-l+1)%p*calcphi(x/l)%p)%p+p)%p;
    }
    return mp[x]=ans;
}

1|0例题

1.P4213 【模板】杜教筛（Sum）

就是求$\mu ,\phi$的前缀和，直接套板子。

2.P3768 简单的数学题

题意：求$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{n}ijgcd(i,j)$

思路：

$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{n}ijgcd(i,j)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{n}ij\sum _{k|i,k|j}\phi (k)$$

$$=\sum _{k=1}^n\phi (k)\sum _{k|i}\sum _{k|j}ij$$

$$=\sum _{k=1}^n\phi (k)k^2(\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{k}\rfloor }i{)}^2$$

然后考虑怎么求前一项
令$f=\mu \ast id\ast id$，$g=id\ast id$，则$(f\ast g)(n)=\sum _{d|n}(\phi (d)d^2)(\frac{n}{d}{)}^2=n^3$，这样就又可以愉快套板子了。

inline int calc(int x){
    if(x<=M)return sumphi[x];
    if(mp.find(x)!=mp.end())return mp[x];
    int ans=S2(x);
    for(int l=2,r;l<=x;l=r+1){
        r=x/(x/l);
        ans=(ans-((S1(r)-S1(l-1)+p)%p*calc(x/l)%p)%p+p)%p;
    }
    return mp[x]=ans;
}
inline int solve(){
    int ans=0;
    for(int l=1,r;l<=n;l=r+1){
        r=n/(n/l);
        ans=(ans+(calc(r)-calc(l-1)+p)%p*S2(n/l)%p)%p;
    }
    return ans;
}

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本文作者：Xttttr
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