小科技之卷积解决字符串匹配问题

1|0小科技之卷积解决字符串匹配问题

OI中有各种字符串匹配问题，常见的有单模式串匹配、多模式串匹配和子串匹配等，一般可以用KMP、AC自动机、SAM解决。如果涉及到其他形式的单模式串匹配，这些传统的方式很不好解决，有没有更灵活的处理方法或者通法呢？

答案是有的，而且就是耳熟能详的FFT/NTT。

我们先考虑最基础的单模式串匹配，求长为m的字符串T在长为n的字符串S里出现了多少次，只不过我们要用卷积来实现。具体的，我们设 $C (i, j)$ 表示 $(s_{i} - t_{j})$ ，即这两位是否相等，相等就为0，如果匹配了，那么自然有 $\sum_{i = 0}^{m - 1} C (x - m + i + 1, i) = 0$ ，但是这样有反例，例如 $a b$ 和 $b a$ 都可以和 $a b$ 匹配，因此我们改成 $\sum_{i = 0}^{m - 1} | C (x - m + i + 1, i) | = 0$ 才行。但是我们维护这个也是 $O (m)$ 的，所以我们考虑给这一项平方，再设 $a n s (x) = \sum_{i = 0}^{m - 1} C (x - m + i + 1, i)^{2} = \sum_{i = 0}^{m - 1} (s_{x - m + i + 1} - t_{i})^{2}$ ，我们暴力拆柿子，得：

a n s (x) = \sum_{i = 0}^{m - 1} s_{x - m + i + 1}^{2} - 2 \times s_{x - m + i + 1} \times t_{i} + t_{i}^{2} = \sum_{i = 0}^{m - 1} s_{x - m + i + 1}^{2} + \sum_{i = 1}^{m} t_{i}^{2} - \sum_{i = 0}^{m - 1} 2 \times s_{x - m + i + 1} \times t_{i}

这时前两项可以预处理后 $O (1)$ 算，问题就在于怎么求最后一项。我们发现这个形式不好看，于是我们把T翻转，即 $t_{i}$ 变成 $t_{m - i - 1}$ ，那么就变成了

\sum_{i = 0}^{m - 1} 2 \times s_{x - m + i + 1} \times t_{m - i - 1}

注意到 $x - m + i + 1 + m - i - 1 = x$ ，那么这显然就是一个卷积式，我们可以 $O (n \log n)$ 求出每一项，这样就可以 $O (n \log n)$ 求出 $a n s (x)$ 了。

从这个算法得到启发，我们来总结做题的方法。

第一步：设计通配函数，即上文中的 $C (i, j)$ 。

第二步：设计完全通配函数，即上文中的 $a n s (x)$ 。

第三步：计算每一位的完全通配函数的值。

来看几道简单的例题叭

1.P4173 残缺的字符串

题意：带通配符 $*$ 的单模式串匹配。

思路：因为有通配符的存在，所以我们设计 $C (i, j) = s_{i} t_{j} (s_{i} - t_{j})^{2}$ ，为什么要这样设计呢？因为对应位置相等的情况要么就是 $s_{i} = t_{j} \neq *$ ，要么就是 $s_{i} = * | | t_{j} = *$ ，因此我们把通配符当成0，这样设计匹配函数就可以满足上面的条件了。

显然，完全通配函数就是

a n s (x) = \sum_{i = 0}^{m - 1} s_{x - m + i + 1} t_{i} (s_{x - m + i + 1} - t_{i})^{2} = \sum_{i = 0}^{m - 1} (s_{x - m + i + 1}^{3} t_{i} - 2 s_{x - m + i + 1}^{2} t_{i}^{2} + s_{x - m + i + 1} t_{i}^{3})

如何快速计算呢？我们把b翻转，就可以得到

a n s (x) = \sum_{i = 0}^{m - 1} (s_{x - m + i + 1}^{3} t_{m - i - 1} - 2 s_{x - m + i + 1}^{2} t_{m - i - 1}^{2} + s_{x - m + i + 1} t_{m - i - 1}^{3})

这个形式就和卷积一样了，我们只需把 $s^{3}$ 和 $t$ 卷起来，再把 $s^{2}$ 和 $t^{2}$ 卷起来，最后把 $s$ 和 $t^{3}$ 卷起来就可以了。复杂度 $O (n \log n)$ 。

2.CF528D Fuzzy Search

题意：定义两个字符串匹配当且仅当T中每一个字符可以在S中找到一个相距不超过k的相同字符，求T在S中出现次数，字符集大小为4。

思路：这一题乍一看不好直接设计通配函数，我们发现这一题的字符集大小只有4，于是尝试对每一位分开计算。具体的当处理到字符ch时，我们把和ch相同的当成1，其他的是0，然后对S串正反扫一遍把所有与1相距不超过k的位置也标成1，这时两位匹配当且仅当 $t_{i} = 0$ 或 $t_{i} = s_{i} = 1$ ，这样我们设计匹配函数 $C (i, j) = t_{j} (a_{i} - t_{j})^{2}$ 就满足条件了。

显然，完全匹配函数就是

a n s (x) = \sum_{i = 0}^{m - 1} t_{i} (s_{x - m + i + 1} - t_{i})^{2} = \sum_{i = 0}^{m - 1} s_{x - m + i + 1}^{2} t_{i} - 2 s_{x - m + i + 1} t_{i}^{2} + t_{i}^{3}

根据我们的定义， $f_{i}, g_{i}$ 为0或1，那 $f_{i}^{k} = f_{i}, g_{i}^{k} = g_{i}$ ，于是就把原式化简为

a n s (x) = \sum_{i = 0}^{m - 1} s_{x - m + i + 1} t_{i} - 2 s_{x - m + i + 1} t_{i} + t_{i} = \sum_{i = 0}^{m - 1} t_{i} - s_{x - m + i + 1} t_{i}

同样的，把T翻转，那么

a n s (x) = \sum_{i = 0}^{m - 1} t_{i} - \sum_{i = 0}^{m - 1} s_{x - m + i + 1} t_{m - i - 1}

这样就可以卷积了。复杂度 $O (n \log n)$

3.P3763 [TJOI2017]DNA

题意：求有多少个S的子串满足修改小于等于3个位置能够变成T，字符集大小为4。

思路：看到字符集大小很小，就想到对每一种字符单独考虑。S、T中和字符c相等的位置为1，定义匹配函数为 $C (i, j) = s_{i} \times t_{j}$ ，那自然 $C (i, j) = 1$ 时 $s_{i}$ 与 $t_{j}$ 匹配。

这时完全匹配函数就呼之欲出了。

a n s (x) = \sum_{i = 0}^{m - 1} s_{x - m + i + 1} t_{i}

如果 $a n s (x) + 3 ⩽ m$ 就合法

显然，计算时将T翻转 ~~（是不是很套路？）~~ ，得：

a n s (x) = \sum_{i = 1}^{m - 1} s_{x - m + i + 1} t_{m - i - 1}

这样就可以愉快地卷积了。复杂度 $O (n \log n)$ 。

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本文作者：Xttttr
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