题解 洛谷P4016 网络流24题.03 【负载平衡问题】

\(\huge\mathbb{DESCRIPTION}\)
编号：洛谷\(P4016\)、\(LOJ6013\)(与洛谷上本题完全相同)
算法：最小费用最大流\(\mathbb{OR}\)贪心
来源：网络流\(24\)题
\(\huge\mathbb{SOLUTION}\)
这道题目我们可以用最小费用最大流来解决。
但是，我觉得贪心也可以啊。
这明明就是均分纸牌...
考虑一下怎么贪心。
首先，不难想到，我们要先求出平均数。
要想求平均数，就要求和。
易知：

\[Sum=\sum_{i=1}^N Array_i \]

\[Average=\frac{Sum}{N} \]

然后，我们不妨把\(Array_i\)减去\(Sum\)。
这样\(Array_i\)就变成了与目标的差。
最后，我们按开始的序列顺序，像普通均分纸牌一样处理出前缀和\(Prefix\)数组，那么假设枚举的位置为\(x\)，则类比普通均分纸牌求法，新的\(Prefix_i=Prefix_i-Prefix_x\)，于是：

\[Answer=\sum{|Prefix_i-Prefix_x|} \]

易证\(Prefix_x\)为\(Prefix\)数组的中位数时，\(Ans\)最小。
于是就解决了。
\(\huge\mathbb{CODE}\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int N;
long long Array[101],Prefix[101];
int main(void)
{
	register int i;
	cin>>N;
	for(i=1;i<=N;i++)
	{
		cin>>Array[i];
	}
	register long long Sum;
	Sum=0;
	for(i=1;i<=N;i++)
	{
		Sum+=Array[i];
	}
	Sum/=N;
	for(i=1;i<=N;i++)
	{
		Array[i]-=Sum;
		Prefix[i]=Prefix[i-1]+Array[i];
	}
	sort(Prefix+1,Prefix+N+1);
	Sum=0;
	for(i=1;i<=N;i++)
	{
		Sum+=abs(Prefix[N/2+1]-Prefix[i]);
	}
	cout<<Sum<<endl;
	return 0;
}