【转载】网络流与线性规划 24 题刷题指南
前言
本篇博文转载自博客园 ticmis 的博文 网络流24题，转载时做了如下改动：
- 排版整理，规范化 \(\LaTeX\)。
- 题单中添加了 洛谷题号 和 洛谷难度。
- 错别字修改。
- 内容描述稍作改动。
说实话，本人很讨厌 某SDN 上的各个博主间互相抄来抄去的行为，这一篇是我第一次转载别人的博文，原因是我认为原博文讲的非常好，想搬到过来推广给大家。
题单列表
本人整理的洛谷题单：网络流与线性规划 24 题。
题单基本按照知识点难度排序，推荐读者以这个顺序做题。有相关建议可以在评论区提出。
| 编号 | 洛谷题号 | 题目名称 | 题目模型 | 转化模型 | 洛谷难度 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(1\) | P2756 | 飞行员配对方案问题 | 二分图最大匹配 | 二分图 | 提高+/省选− |
| \(2\) | P4011 | 孤岛营救问题 | 分层图最短路 | 最短路径 | 提高+/省选− |
| \(3\) | P4009 | 汽车加油行驶问题 | 分层图最短路 | 最短路径 | 省选/NOI− |
| \(4\) | P2761 | 软件补丁问题 | 最小转移代价 | 最短路径 | 提高+/省选− |
| \(5\) | P2754 | 星际转移问题 | 分层图转移 | 最大流 | 省选/NOI− |
| \(6\) | P2762 | 太空飞行计划问题 | 最大权闭合图 | 最小割 | 省选/NOI− |
| \(7\) | P2764 | 最小路径覆盖问题 | 有向无环图最小路径覆盖 | 最大流 | 省选/NOI− |
| \(8\) | P2765 | 魔术球问题 | 有向无环图最小路径覆盖 | 最大流 | 省选/NOI− |
| \(9\) | P3254 | 圆桌问题 | 二分图多重匹配 | 最大流 | 提高+/省选− |
| \(10\) | P2763 | 试题库问题 | 二分图多重匹配 | 最大流 | 提高+/省选− |
| \(11\) | P4014 | 分配问题 | 二分图最佳匹配 | 费用流 | 提高+/省选− |
| \(12\) | P2774 | 方格取数问题 | 二分图点权最大独立集 | 最小割 | 省选/NOI− |
| \(13\) | P3355 | 骑士共存问题 | 二分图点权最大独立集 | 最小割 | 省选/NOI− |
| \(14\) | P4016 | 负载平衡问题 | 费用流 |
费用流 | 省选/NOI- |
| \(15\) | P4015 | 运输问题 | 费用流 |
费用流 | 提高+/省选− |
| \(16\) | P2766 | 最长不下降子序列问题 | 限制性带权路径 | 费用流 | 省选/NOI− |
| \(17\) | P2770 | 航空路线问题 | 限制性带权路径 | 费用流 | 省选/NOI− |
| \(18\) | P4013 | 数字梯形问题 | 限制性带权路径 | 费用流 | 省选/NOI− |
| \(19\) | P3358 | 最长k可重区间集问题 | 限制性带权路径 | 费用流 | 省选/NOI− |
| \(20\) | P3357 | 最长k可重线段集问题 | 限制性带权路径 | 费用流 | 省选/NOI− |
| \(21\) | P4012 | 深海机器人问题 | 限制性带权路径 | 费用流 | 省选/NOI− |
| \(22\) | P3356 | 火星探险问题 | 限制性带权路径 | 费用流 | 省选/NOI− |
| \(23\) | P1251 | 餐巾计划问题 | 限制性带权路径 | 费用流 | 省选/NOI− |
| \(24\) | P2775 | 机器人路径规划问题 | 题目有误 | 题目有误 | 暂无评定 |
题型归纳
网络流 \(24\) 题中所有出现过的题型整理如下。
\(\large\mathfrak{1st.}\) 图上状态转移
涉案题目：
| 编号 | 题目名称 | 题目模型 | 转化模型 |
|---|---|---|---|
| 2 | 孤岛营救问题 | 分层图最短路径 | 最短路径 |
| 3 | 汽车加油行驶问题 | 分层图最短路径 | 最短路径 |
| 4 | 软件补丁问题 | 最小转移代价 | 最短路径 |
| 5 | 星际转移问题 | 分层图转移 | 最大流 |
这类题的特征就是，由一个确定的状态可以通过有限的方案，转化为另外一种确定的状态，思路有点类似 \(\text{dp}\) 转移。
\(2\)、\(3\)、\(4\) 这三道题就是状压 \(\text{dp}\)（没错，网络流里混进来的间谍），见图，一发 \(\text{SPFA}\) 或 \(\text{Dijkstra}\) 即可
其中第 4 题还有一点比较特殊，这道题的转移方案特别多，对应过来就是，图上的边特别特别多，多到无法存下来。咋办呢？由于点是确定且数量可以接受的，就跑最短路径的同时，“建”边即可。
而 \(5\) 这道题稍微有一点难度。这道题和前三道题有所区分。它并不是单纯的状压，而用到网络流。
它的一个思维难点就在于时间是无法事先确定的，只能模拟。模拟的过程中，不断为某一天增边建图，然后跑最大流
\(\large\mathfrak{2nd.}\) 有向无环图最小路径覆盖
涉案题目：
| 编号 | 题目名字 | 题目模型 | 转化模型 |
|---|---|---|---|
| \(7\) | 最小路径覆盖问题 | 有向无环图最小路径覆盖 | 最大流 |
| \(8\) | 魔术球问题 | 有向无环图最小路径覆盖 | 最大流 |
详情请参考博客 “网络流 最小路径覆盖” 和 “题解 魔术球问题”
\(\large\mathfrak{3rd.}\) 二分图相关算法
涉案题目：
| 编号 | 题目名字 | 题目模型 | 转化模型 |
|---|---|---|---|
| \(1\) | 飞行员配对方案问题 | 二分图最大匹配 | 二分图 |
| \(9\) | 圆桌问题 | 二分图多重匹配 | 最大流 |
| \(10\) | 试题库问题 | 二分图多重匹配 | 最大流 |
| \(11\) | 分配问题 | 二分图最佳匹配 | 费用流 |
这类题就是用网络流的算法去解决二分图的问题。学习了网络流之后，再看二分图，感觉就比较简单了。简单的建图，简单的网络流即可一发带走 (•̀ ω •́ )y
\(\large\mathfrak{4th.}\) 不相交路径
涉案题目：
| 编号 | 题目名字 | 题目模型 | 转化模型 |
|---|---|---|---|
| \(16\) | 最长递增子序列问题 | 限制性带权路径 | 最大流 |
| \(17\) | 航空路线问题 | 限制性带权路径 | 费用流 |
| \(18\) | 数字梯形问题 | 限制性带权路径 | 费用流 |
| \(19\) | 最长k可重区间集问题 | 限制性带权路径 | 费用流 |
| \(20\) | 最长k可重线段集问题 | 限制性带权路径 | 费用流 |
| \(21\) | 深海机器人问题 | 限制性带权路径 | 费用流 |
| \(22\) | 火星探险问题 | 限制性带权路径 | 费用流 |
第一眼看限制性带权路径的题，很容易让人感觉是搜索题。因为假如数据范围足够小，简单的搜索是能够保证正确性的。
但是，学完了网络流，可解决的数据范围肯定就要比搜索肥了不少
这类题的总体思路是拆点：
- 将 \(x\) 拆为 \(x_1\) 和 \(x_2\) 两个点，\(x_1\) 为入点，\(x_2\) 为出点。
- \(x_1 \rightarrow x_2\)，流量表示这个点可以经过的次数，费用表示经过这个点的收益。
- \(x_2 \rightarrow y_1\)，流量和费用表示从一个 \(x\) 点转移到 \(y\) 点，或者转移过程中点收益。
- \(s \rightarrow x_1\)，表示路径的起始点，流量为路径条数，费用通常为 \(0\)。
- \(x_2 \rightarrow t\)，表示路径的终点，流量通常为 \(\inf\)，费用通常为 \(0\)。
然后，建图，一发入魂╰(￣ω￣ｏ)
\(\large\mathfrak{5th.}\) 线性规划网络优化
涉案题目：
| 编号 | 题目名字 | 题目模型 | 转化模型 |
|---|---|---|---|
| \(23\) | 餐巾计划问题 | 线性规划网络优化 | 费用流 |
这类题就是用网络流来优化线性规划，由于线性规划本身就具有很强的灵活性，所以这类题也相应的具有很强的灵活性
说是“类”，其实也只见过两道题而已啊~~（＞人＜；）
餐巾计划这道题我认为是网络 \(24\) 题（除去那道错题）中最难的一道题。建图很有创造性，通过建图，完美的表达了题目的限制条件的同时，又用上了费用流这个强大利器。
