陈类
上个月写了一篇『乘积与对偶』讲了乘积和对偶的故事。这次写一篇总结一下目前学习到的陈类。
$\blacksquare$ 以下所言拓扑空间皆指CW复形。
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综述
首先我们需要选定复射影空间$P\mathbb{C}^n$的同调群的生成元。因为$P\mathbb{C}^n$可以视作在每个偶数维只有一个胞腔，所以我们定义$H^2(P\mathbb{C}^n)$的生成元为那个胞腔对偶的上同调代表元。
所谓陈类，是对个复向量丛指定一个上同调类，具体来说，陈类是对每个拓扑空间$X$和向量丛$\xi$指定$c(\xi)\in H^{2\bullet}(X)$，记$c^i$是$\deg = 2i$的部分，满足如下的公理
- 对于向量丛$\xi$, $c_0(\xi)=1$, $c_{>\dim \xi}(\xi)=0$.
- 对于射影空间$P\mathbb{C}^n$的重言丛$\tau$，$-c^1(\tau)$恰是我们选取的代表元。
- 如果有有连续映射$Y\stackrel{f}\to X$和$X$上的向量丛$\xi$，那么$$c(f^*(\xi)) = f^*(c(\xi)), $$其中$f^*$表示向量丛的拉回和上同调群的映射。
- 对于$X$上的两个向量丛$\xi,\eta$, 他们的Whiteney直和$c(\xi\oplus \eta)=c(\xi)\cdot c(\eta)$.
实际上如果我们固定$H^2(P\mathbb{C}^n)$的生成元的选取，陈类的选择唯一的，并且有
分裂原理. 任何拓扑空间$X$的向量丛$\xi$，存在某个连续映射$Y\to X$使得$\xi$的拉回分裂成一维向量丛，另一方面诱导的上同调群的映射是单射。
Whitney定理. 如果有向量丛的短正和列$$0\to V\to W\to U\to 0$$那么$c(W)=c(V)\cdot c(U)$.
以代数拓扑观之
分类向量丛的问题在拓扑中由来已久，一个最为经典的结果是，一个拓扑空间$X$的$n$维向量丛由$X$到无穷Grassmannian $G(n)$, 即$\mathbb{C}^\infty$的$n$维子空间，的同伦类决定。
具体来说，对于向量丛$E\stackrel{\xi}{\to} X$，我们可以利用单位分拆和拓扑空间的性质，构造数个函数$E\stackrel{f_i}\to \mathbb{C}$使得每条纤维都有一些$f_i$使得让映射是单线性映射。于是把他们加起来就得到$E\to \mathbb{C}^\infty$，使得每条纤维都是单线性映射，这被称为Gauss映射。 于是对每个点$x\in X$都定义了$\mathbb{C}^\infty$的一个$n$维子空间，所以定义了一个到$G(n)$的映射。反之，考虑$G(n)$上有重言层，即在$V\in G(n)$处的纤维是$n$维向量空间$V$自己，任何映射都可以拉回。可以证明二者互逆。
方便起见，我们通过复合一个$G(n)$的自同伦，使得重言层的对偶的拉回是重言层，选定同构使得$$\{\textrm{同伦类}X\to G(n)\}\longrightarrow \{\textrm{$X$上的向量丛}\}\qquad f\longmapsto \textrm{$重言丛对偶$的拉回}. $$
那么根据米田引理，实际上给陈类就等价于给出$G(n)$上的上同调类$c\in H^\bullet(G(n))$。或者说具体来说，任何$X$的向量丛$\xi$对应一个映射$X\stackrel{g}\to G(n)$，那么$c$和重言层$\tau$同时拉回，根据陈类的公理，$c(\xi)=c(g^*\tau)=g^*c(\tau)$. 所以这等价于计算Grassmannian的上同调群并指定其陈类。而Whiteney直和性质则可以被解释为映射$G(k)\times G(h)\to G(k+h)$对应的上同调映射满足余乘法性质，即$c_k\mapsto \sum_{i=0}^k c_i\otimes c_{k-i}$.
所以构造本质上是计算无穷Grassmannian的上同调。这有很多计算方式，
- 利用Leray-Hirsch定理，用旗流形计算，因为Leray-Hirsch已经自带乘法结构。——见[3]
- 利用Schubert的胞腔分解，直接得到一组基，再利用Schubert计算计算cup积。——见[1]
- 考虑$(P\mathbb{C}^\infty)^n\to G(n)$，证明这诱导的是单射考虑像。——见[1]
最终可以计算出$G(n)$的上同调群和$n$元对称多项式同构，那么我们定义初等对称多项式就是陈类。
以微分几何观之
陈类之所以强大，一个原因是其丰富的刻画。首先一个哲学话题是，我们如何『看到向量丛』？大部分时候我们只能从局部出发，但是这样和平凡从没有区别。假设我们知道向量丛$E\to B$，如果我们『能看到』$B$，如何看到$E$？一个聪明的做法是看$B$的点变动时，$E$的点如何跟随变动。这在拓扑中被称为纤维变换，当道路定端同伦时，对应的纤维也同伦（同伦提升性质）。不过微分几何中希望这样的移动是唯一的，用微分几何的哲学，这等于每点每个向量指定一个无穷小的移动方向（切向量）这就是联络。对于向量丛$E$, 一个联络是指$$\nabla: \Gamma(E)\to \Gamma(\Omega^1\otimes E), \qquad \nabla(fs)=d f\otimes \otimes s+f\cdot \nabla s. $$其中$\Omega^i$是$i$次微分形式丛。这可以延拓到$\Gamma(\Omega^i\otimes E)\to \Gamma(\Omega^{i+1}\otimes E)$. 于是有曲率形式$K=\nabla\circ \nabla: \Gamma(E)\to \Gamma(\Omega^1\otimes E)$, 验证会发现这这是一个张量（Riemannian曲率张量）！所以在每点对应了一个以$\Omega^2$为系数的矩阵$\Omega$，定义陈类$$c(E)=\det(I-\frac{1}{2\pi i}\Omega)$$于是陈类变成了特征值的初等对称函数。
剩余只需验证陈类公理，在验证函子性质等，还需（其实也只需要）计算$P\mathbb{C}^1$的情况，考虑切丛，利用Riemann流形的计算，这会给出我们想要的曲率。见[1]和[4]。
以代数几何观之
我认为Grothendieck之所以强大，是因为一个活跃在上世纪下半业的人有如此多漂亮的发现。这就是其中一个。
首先我们可以对1维向量丛定义第一陈类，这个不复杂，只需要将其嵌入$P\mathbb{C}^\infty$，考虑生成元的拉回。
对于复向量丛$E\to B$，我们考虑对应的射影丛$\mathbb{P}(E)\to B$，即把每点的纤维从$F$变成对应的射影空间$\mathbb{P}^1(F)$. 此时考虑$\mathbb{P}(E)$上的重言丛，此时$\mathbb{P}(E)$的元素是$x\in B$和一个纤维$F_x$中的直线，对应的纤维就是这条直线。假设这个丛对应的陈类是$\zeta$，那么$1,\zeta,\cdots,\zeta^{\dim E-1}$成为$H^\bullet(\mathbb{P}(E))$作为$H^\bullet(B)$的基（利用Mayer-Vietoris序列或Leray-Hirsch定理），那么应该有唯一的关系使得$$\zeta^n+c_1\zeta^{n-1}+\cdots+c_n=0$$我们定义这个系数就是陈类。验证这个满足陈类的公理并不困难，见[5]或[6]。
但是为何这个操作适合代数几何？我们想要将陈类搬到周环上。代数几何的范畴下上述两种构造皆不可行，因为前者用了无穷维空间，后者用了微分。但是这里的构造则不再困难。我们可以先对有效的可逆层定义，然后考虑重言层，因为我们只在射影丛上用了$\mathcal{O}(1)$（这对于52读者这是熟知的），然后问题变成证明周环的结构，见[7]。
参考文献
[1] Milnor. Stasheff, Characteristic classes.
[2] Husemoller, Fibre.Bundles.
[3] Hatcher, Algebraic Topology.
[4] Morita, Geometry of Differential forms.
[5] Fulton. Young tableau with applications in representation theory and geometry.
[6] Hatcher, topology of fibre bundle.
[7] Fulton, Intersection theory.
后记
感觉最近忙了，就丝毫不想数学以外的事儿……例如毛语我又一次忘得一干二净……
数学方面，学习数学又不能完全按部就班，导致学了这个就落下了这个，最近很多计划没有完成。毕业论文的问题也毫无进展，最近还是补一点谱序列和拓扑，感觉会用。
