复习交换代数——准素分解的应用和几何意义

上承这篇博文，下面我们来介绍一些准素分解的应用和几何意义。

1、Krull交定理

一个著名的应用就是Krull交定理。

Krull交定理 对于Noether环$R$，理想$\mathfrak{a}$，令$\mathfrak{a}^{\infty}=\bigcap_{n\geq 0}\mathfrak{a}^n$，那么$$\mathfrak{a}\mathfrak{a}^{\infty}=\mathfrak{a}^{\infty}$$作为推论存在$x\in \mathfrak{a}$使得$(1+x)\mathfrak{a}^{\infty}=0$。

证明 首先，显然有$\mathfrak{a}\mathfrak{a}^{\infty}\subseteq \mathfrak{a}^{\infty}$。为了看到反面，考虑$\mathfrak{a}\mathfrak{a}^{\infty}$的准素分解$\mathfrak{a}\mathfrak{a}^{\infty}=\bigcap \mathfrak{q}_i$，其中$\mathfrak{q}_i$是$\mathfrak{p}_i$-准素的，我们要证明$\mathfrak{a}^{\infty}\subseteq \mathfrak{q}_i$。

• 当$\mathfrak{a}\subseteq \mathfrak{p}_i$时，那么因为$\mathfrak{p}_i=\sqrt{\mathfrak{q}_i}$以及Noether性$\mathfrak{a}^n\subseteq \mathfrak{p}_i^n\subseteq \mathfrak{q}_i$，这样$\mathfrak{a}^\infty \subseteq \mathfrak{q}_i$。
• 当$\mathfrak{a}\setminus \mathfrak{p}_i\neq \varnothing$时，任取其中元素$x$，那么$x \mathfrak{a}^\infty \subseteq \mathfrak{a}\mathfrak{a}^\infty \subseteq \mathfrak{q}_i$，此时$x\notin \mathfrak{p}_i$，根据准素理想的刻画，$\mathfrak{a}^{\infty}\subseteq \mathfrak{q}_i$。

关于后者则是自然推论，因为可以选取$\mathfrak{a}^{\infty}$的有限的生成元得到一个$\mathfrak{a}$组成矩阵$A$在其上作用如同单位阵，从而$\det(A-I)\in 1+\mathfrak{a}$在$\mathfrak{a}^\infty$上的作用为$0$。$\square$

推论 对于Noether环$R$，$\mathfrak{r}=\operatorname{rad} R$是Jacobson根基（即素理想的交），那么$\bigcap_{n\geq 0}\mathfrak{r}^n=0$。$\square$

一个最为显著的应用就是证明光滑函数环不是Noether环，例如取$\mathbb{R}$上$0$的光滑函数芽$\mathscr{C}_0^\infty$，那么唯一的极大理想正是那些在$0$处取$0$的函数，而极大理想的$n$次方是知道$n-1$阶导数在$0$都取$0$的函数，那么他们的交是各阶导数在$0$都取$0$的函数，这样的非零函数很多。

Krull交还有一个基于Hilbert基的证明，可见Milne的讲义 Theorem 1.8。

2、离散赋值环

离散赋值环是一类非常简单的环。

定义 如果在域$K$上有一个赋值$\nu: K\to \mathbb{Z}_{\geq 0}\cup \{\infty\}$满足

• $\nu(0)=\infty$
• $\nu(xy)=\nu(x)+\nu(y)$
• $\nu(x+y)\geq \min(\nu(x), \nu(y))$

其中关于$\infty$的运算约定俗成。称$\nu$为$K$的一个离散赋值。

定义 一个整环$R$被称为离散赋值环，如果其分式域$K=\operatorname{Frac} R$上存在赋值$\nu$使得$R=\{x\in K: \nu(x)\geq 0\}$。

容易验证, $\nu(-1)=0$，$\nu(x)=\nu(-x)$，以及$$\nu(x)\neq \nu(y)\Rightarrow \nu(x+y)= \min(\nu(x), \nu(y))$$这被俗称为『木桶原理』。容易根据定义验证，

• $\mathfrak{m}=\{x\in K: \nu(x)> 0\}$是$A$的极大理想。
• $A\setminus\mathfrak{m}=\{x\in K: \nu(x)=0\}$是$A$的单位。
• 以上两点说明$A$的极大理想$\mathfrak{m}$是主理想，因为只需要取$\nu(x)=1$的任何一个元素。
• 以上两点说明任何理想都是主理想且都形如$\mathfrak{m}^n$，因为一个理想由$\nu$在其上的取值决定。

下面有离散赋值环的一个简单判据。

定理 令$R$是一个局部整环，极大理想为$\mathfrak{m}$，假设$\mathfrak{m}$是非零主理想，且$\bigcap \mathfrak{m}^n=0$，那么$R$是离散赋值环。

证明 假设$\mathfrak{m}=\left<t\right>$。根据条件，任何$x\in R\setminus 0$都落在某个$\mathfrak{m}^n\setminus \mathfrak{m}^{n-1}$里，这表明$x=ut^n$，其中$u$是单位。这个$n$就定为$x$的赋值$\nu(x)$，再规定$\nu(0)=\infty$，不难证明

• $\nu(xy)=\nu(x)+\nu(y)$
• $\nu(x+y)\geq \min(\nu(x), \nu(y))$

 这自然延拓到$K=\operatorname{Frac} R$上。注意到$R$已经是局部环，可逆元当且仅当具有赋值$0$，根据延拓到$K$上的方法容易得到$R=\{x\in K:\nu(x)\geq 0\}$。$\square$

推论 令$R$是一个局部Noether整环，极大理想为$\mathfrak{m}\neq 0$，假设$\mathfrak{m}$是主理想，那么$R$是离散赋值环。

证明 根据Krull交定理的推论。$\square$

定理 令$R$是一个局部Noether整环，极大理想为$\mathfrak{m}\neq 0$，如果$R$是正则且维数为$1$，那么$R$是离散赋值环。（所谓正则即$\dim_{R/\mathfrak{m}}\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2=\dim R$）

证明 任何$R$模$M$，子模$N$，根据中山引理$$M=\mathfrak{m}M+N\iff M=N$$故$$\textrm{$\{m_i\}\subseteq M$生成了$M$}\iff M=\mathfrak{m}M+m_1R+\ldots +m_rR\iff \textrm{$\{m_i\mod \mathfrak{m}M\}\subseteq M/\mathfrak{m}M$生成了$M/\mathfrak{m}M$}$$这说明了$\mathfrak{m}$是主理想。$\square$

定理 令$R$是一个局部Noether整环，极大理想为$\mathfrak{m}\neq 0$，如果$R$是正规且维数为$1$，那么$R$是离散赋值环。（所谓正规即整闭）

证明 任意取非零元$x\in \mathfrak{m}$，考虑主理想$(x)$的准素分解，因为$R$只有两个素理想，而$0$显然不是，这说明$(x)$是准素的，这样根据准素分解定义，存在$y\in R$使得$\{a\in R: ya\in (x) \}=\mathfrak{m}$，此时$\frac{y}{x}\mathfrak{m}\subseteq R$，如果$\frac{y}{x}\mathfrak{m}=\mathfrak{m}$，那么$y/x$整从而$y/x\in R$，这样$\{a\in R: ya\in (x) \}=R$矛盾。所以$\frac{y}{x}\mathfrak{m}=R$，取$w\in \mathfrak{m}$使得$\frac{y}{x}w=1$，这样，$\mathfrak{m}=w\frac{y}{x}\mathfrak{m}=wR$，是主理想，命题得证。$\square$

3、Dedekind整环

熟知Dedekind整环的定义

定义 一个Dedekind整环是Noether、整闭、维数为1的交换环。

同样熟知Dedekind整环理想的唯一分解性。这可以利用准素分解证明。

定理 对于Dedekind整环$R$, 任何理想$\mathfrak{a}$都可以唯一分解为一些素理想的乘积。

证明 利用准素分解，我们已经知道$\mathfrak{a}$是一些准素理想的交$\bigcap \mathfrak{q}_i$，且这是唯一的，因为维数确保所有素理想都是极小的。假设$\mathfrak{p}_i=\sqrt{\mathfrak{q}_i}$是素理想，按照维数，他们都是极大理想。

• 我们先证明$\mathfrak{q}_i$是两两互素的，这样$\mathfrak{a}=\prod \mathfrak{q}_i$。因为$\mathfrak{p}_i$都是两两互素的，从而$\mathfrak{p}_i^n$两两互素的，因为Noether性，确保$\mathfrak{p}_i$有限生成，从而$\mathfrak{p}_i^n\subseteq \mathfrak{q}_i$，这样$\mathfrak{q}_i$两两互素。
• 于是问题变成证明$\mathfrak{q}_i=\mathfrak{p}_i^{n_i}$。我们先证明$R_{\mathfrak{p}_i}=R$的情形，此时$R$是离散赋值环，故自动有$\mathfrak{q}_i=\mathfrak{p}_i^{n_i}$。一般情况通过局部化，注意到准素理想在局部化后的原像还是本身。
• 为了看到唯一性，只需注意到$\prod \mathfrak{p}_i^{n_i}=\bigcap \mathfrak{p}_i^{n_i}$，之后根据准素分解第二唯一性得证和离散赋值环性质。

命题得证. $\square$

直接的证明可以看我写的代数数论里Van der Waerden的证明。

4、Noether整闭环

定理 对于Noother整闭整环$R$，有$$R=\bigcap_{\operatorname{ht}\mathfrak{p}=1}R_{\mathfrak{p}}$$

证明 我们首先证明，任何主理想$aR$，$R/aR$的伴随素理想$\mathfrak{p}$都是高度为$1$的。首先通过局部化，假设$R=R_{\mathfrak{p}}$，假设$b\in R$使得$\{x\in R: xb\in aR\}=\mathfrak{p}$，此时$\frac{b}{a}\mathfrak{p}\subseteq R$，此时不能有$\frac{b}{a}\mathfrak{p}\subseteq \mathfrak{p}$，否则和整性矛盾。这说明$\frac{b}{a}\mathfrak{p}=R$，这说明$\mathfrak{p}$是主理想，这说明$R_{\mathfrak{p}}$是离散赋值环，从而是$\mathfrak{p}$的高度为$1$。随后，假设$\frac{a}{b}\in \bigcap_{\operatorname{ht}\mathfrak{p}=1}R_{\mathfrak{p}}$，即$b\in aR_{\mathfrak{p}}$，我们要证明$b\in aR$。假设$aR=\bigcap \mathfrak{q}_i$是准素分解，我们要证明$b\in \mathfrak{q}_i$。注意到$aR_{\mathfrak{p}_i}=\mathfrak{q}_iR_{\mathfrak{p}_i}$，于是立刻得到$b\in aR_{\mathfrak{p}_i}\cap R=\mathfrak{q}_i$，命题得证。$\square$ 

5、最后我们指出一些准素分解的几何意义。

首先，古典簇的几何，并不允许我们考虑根理想意外的理想。如果统一求根，Noether分解定理断言，任何Noether整环，根理想都可以唯一写成有限素理想的交。

不过如果我们引入概形，我们知道，$\mathfrak{a}$对应的闭子概形和$\sqrt{\mathfrak{a}}$对应的并不相同，他们之间相差了一些『无穷小』。粗略看，根理想把Taylor展开一次项以外的部分去除了，但是一般的有可能保留一次项，例如$(x,y)$代表点$(0,0)$，一个多项式$f$模去$(x,y)$剩余$f(0)$，而$(x^2,y)$则还代表一个关于$x$的『无穷小邻域』，一个多项式$f$模去$(x^2,y)$剩余$f(0)+\frac{\partial f}{\partial x}(0)x$。这样准素分解几何意义也就明确了，准素分解实际上是一种『带微分』的Noether分解定理。

最后我们指出关于Noether整闭环的几何意义。毫无疑问，因为有离散赋值环这一概念，Noether整闭环$R$上高度为$1$的素理想很好把握，他们和$\operatorname{Frac} R$上的离散赋值是一一对应的。我们将其收集起来，任意一个$f\in R$，都定义了一个赋值，这样可以作出一个商群，这可以类比Dedekind整环类群的概念。更准确地说，我们定义$\operatorname{Div} R$为那些以高度为$1$的素理想$\mathfrak{p}$生成的自由Abel群，每一个$\mathfrak{p}$都对应一个赋值，$\nu_{\mathfrak{p}}$，那么任何一个$f\in R$都定义了一个$\sum_{\mathfrak{p}}\nu_{\mathfrak{p}}(f)$，这根据上面的过程，这是有限和，且赋值都是正的。这样类似复变函数，我们可以谈论一个$f\in \operatorname{Frac} R$在$\mathfrak{p}$的零点重数或极点重数，上述定理说明$f$如果没有极点，那么就落在$R$中，换言之，$R$类比于全纯函数环，$\operatorname{Frac} R$类比亚纯函数域。