复习交换代数——准素分解

众所周知，最近我在学习代数几何，最近可能会把之前没搞懂的交换代数认真复习一下。这次的主题是准素分解。朴素的操作可见Atiyah经典的书，但是我们拒绝采用这种没有动机而又不清晰的过程。

首先我们熟知的一个交换代数结果是

定理 对于Nother环$R$，有限生成模$M$，那么存在合成列$$0=M_0\subseteq M_1\subseteq \ldots \subseteq M_{n-1}\subseteq M_n=M$$且因子$M_i/M_{i-1}\cong R/\mathfrak{p}$对某个素理想$\mathfrak{p}$，其中$R/\mathfrak{p}$被称为子商。且这样的分解，根据模论版本的蝴蝶引理（Zassenhaus引理），子商总是唯一的。

证明过程无非是朴素地运用链条件。根据其证明过程，实际上我们可以预先指定之中的某些$M_i$。假如我们观察，这个分解的『头部』$0\subseteq M_1$说明某个$R/\mathfrak{p}$嵌入了$M$。这诱使我们定义如下的伴随素理想（assiciated prime）。

定义（伴随素理想）对于环$R$，模$M$，称素理想$\mathfrak{p}$和$M$相关，当且仅当存在单射的模同态$R/\mathfrak{p}\to M$。等价地，即存在$x\in M$使得零化子$\operatorname{Ann}(x)=\{a\in R: ax=0\}=\mathfrak{p}$。记所有的伴随素理想是$\operatorname{Ass}_R(M)$。

重要的例子 对于素理想$\mathfrak{p}$，$\operatorname{Ass}_R(R/\mathfrak{p})=\{\mathfrak{p}\}$。更精确地说，任何非零元$x\in R/\mathfrak{p}$都有$\operatorname{Ann}(x)=\mathfrak{p}$。

下面是两个最为重要的刻画。

定理 关于伴随素理想有如下刻画

• 如果有正合列$0\to N\to M\to M/N\to 0$，那么$$\operatorname{Ass}_R(N)\subseteq \operatorname{Ass}_R(M)\subseteq \operatorname{Ass}_R(N)\cup \operatorname{Ass}_R(M/N)$$作为推论如果$M=N_1\oplus N_2$，那么$\operatorname{Ass}_R(M)=\operatorname{Ass}_R(N_1)\cup \operatorname{Ass}_R(N_2)$
• 对于某个模下递增子模链$N_{\lambda}$，那么$$\operatorname{Ass}_R\left(\bigcup N_{\lambda}\right)=\bigcup \operatorname{Ass}_R(N_{\lambda})$$

证明 第一个包含关系根据定义是平凡的。第二个包含，假设有单射$R/\mathfrak{p}\to M$，考虑复合得到的$\varphi: R/\mathfrak{p}\to M/N$，如果$\ker \varphi=0$，那么$\varphi$是单射，证明已经完成，否则$\ker \varphi\neq 0$，此时存在单射$\ker \varphi\to N$，通过任意挑选$\ker \varphi$的某个非零元，不难得到单射$R/\mathfrak{p}\to \ker \varphi$，所证欲明。对于第二点只需要注意到任何$R/\mathfrak{p}\to \bigcup N_{\lambda}$，必然落在某个$\lambda$上。$\square$

随即有两个重要的刻画

命题 对于Nother环$R$，有限生成模$M$，那么$$M=0\iff \operatorname{Ass}_R(M)=\varnothing$$

证明 任意选择$x\in M\setminus \{0\}$，使得$\operatorname{Ann}(x)$是真理想。如果不是素理想，即存在$a,b$使得$ax\neq 0\neq bx$但$abx=0$，此时考虑$\operatorname{Ann}(ax)$，注意到$$b\notin \operatorname{Ann}(x)\subseteq \operatorname{Ann}(ax)\ni b$$故长此以往可根据Noether性知终会截止，故成为素理想。$\square$

命题 对于Noether环$R$，有限生成模$M$，那么任意$\Psi\subseteq \operatorname{Ass}_R(M)$，都存在子模$N$使得$$\operatorname{Ass}_R(N)=\Psi \qquad \operatorname{Ass}_R(M/N)=\operatorname{Ass}_R(M)\setminus \Psi$$

证明 根据前面对于链的刻画，我们可以利用链条件找到极大的子模$N$使得$\operatorname{Ass}_R(N)\subseteq \Psi$。为了说明满足命题中的情况，我们证明$\operatorname{Ass}_R(M/N)\subseteq \operatorname{Ass}_R(M)\setminus \Psi$。任意$\mathfrak{p}\in \operatorname{Ass}_R(M/N)$，那么考虑$R/\mathfrak{p}\cong N'/N\subseteq M/N$，于是$\operatorname{Ass}_R(N')\subseteq \operatorname{Ass}_R(N)\cup \{\mathfrak{p}\}$，根据$N$的极大性，必有$\mathfrak{p}\in \operatorname{Ass}_R(N')\subseteq \operatorname{Ass}_R(M)$，命题得证。$\square$

评注 当然，这里实际上对所有环所有模都对。

于是有如下漂亮的推论

推论 对于Nother环$R$，有限生成$M$模，那么

• $\{a\in R: \exists x\in M\setminus 0, \textrm{ 使得 } ax=0\}=\bigcup_{\mathfrak{p}\in \operatorname{Ass}_R(M)}\mathfrak{p}$。
• $\{a\in R: \forall x\in M, \exists n>0, \textrm{ 使得 } a^nx=0\}=\bigcap_{\mathfrak{p}\in \operatorname{Ass}_R(M)}\mathfrak{p}$。
• $\operatorname{Ass}_R(M)$是有限集。

证明 我们的方法就是重复第一个命题的做法。对于第一条，任意$a\in$左边，存在$x\in M\setminus \{0\}$，使得$\operatorname{Ann}(x)$是真理想，且含$a$。之后过程相同。对于第二条，注意到左边正是$\sqrt{\operatorname{Ann}(M)}$，注意到，根据定义任意$M$的伴随素理想根据定义必须含$\operatorname{Ann}(M)$。反之任何包含$\operatorname{Ann}(M)$的素理想$\mathfrak{q}$，考虑局部化$M_{\mathfrak{q}}$，这是非零$R_{\mathfrak{q}}$模，从而存在伴随素理想， 不难根据局部化$\operatorname{Ann}$的计算知道存在$M$的伴随素理想$\mathfrak{p}\subseteq \mathfrak{q}$。最后是有限集的论断来自于合成列（可以任意预先指定中间模）和伴随素理想的定义。$\square$

有了上述准备工作，我们就可以定义准素分解了，方便起见，我们只对环定义。

定义 一个理想$\mathfrak{q}$被称为是$\mathfrak{p}$准素的，如果$\operatorname{Ass}_R(R/\mathfrak{q})=\{\mathfrak{p}\}$。根据上面两点推论，下面这些都是这等价的

• $\sqrt{\mathfrak{q}}=\mathfrak{p}$是素理想，且$\mathfrak{q}$是$\mathfrak{p}$准素的。
• $R/\mathfrak{q}\textrm{的所有幂零元}=R/\mathfrak{q}\textrm{的所有零因子}$。
• $xy\in \mathfrak{q}\iff x\in \mathfrak{q}\textrm{或}y\in \mathfrak{p}$。

准素分解存在性 对于Noether环$R$，理想$\mathfrak{a}$，那么存在有限个准素理想$\mathfrak{q}_i$使得$$\mathfrak{a}=\bigcap \mathfrak{q}_i$$

证明 假设$\operatorname{Ass}_R(R/\mathfrak{a})=\{\mathfrak{p}_i\}$，这是一个有限集，对每个$\mathfrak{p}_i$找$\mathfrak{q}_i/\mathfrak{a}$使得$$\operatorname{Ass}_R(R/\mathfrak{q}_i)=\{\mathfrak{p}_i\}\qquad \operatorname{Ass}_R(\mathfrak{q}_i/\mathfrak{a})=\operatorname{Ass}_R(R/\mathfrak{a})\setminus \mathfrak{p}_i$$根据定义，$\mathfrak{q}_i$是理想，令$\bigcap \mathfrak{q}_i=\mathfrak{a}'$，那么$$\operatorname{Ass}_R(\mathfrak{a}'/\mathfrak{a})\subseteq \operatorname{Ass}_R(\mathfrak{q}_i/\mathfrak{a})=\operatorname{Ass}_R(R/\mathfrak{a})\setminus \mathfrak{p}_i$$这表明$\operatorname{Ass}_R(\mathfrak{a}'/\mathfrak{a})=\varnothing$，即$\mathfrak{a}=\mathfrak{a}'$。所证欲明。$\square$

当然数学家不会仅仅满足于存在性，但是唯一性实际上并不总是成立的，例如

例子 对于域$k$，$k[X,Y]$的理想$\left<X^2,XY\right>$有$$\left<X^2,XY\right>=\left<X\right>\cap \left<X^2,XY,Y^2\right>=\left<X\right>\cap \left<X^2,Y\right>$$其中$\left<X^2,XY,Y^2\right>$和$\left<X^2,Y\right>$都包含$\left<X,Y\right>^2$从而是准素的。

更一般地，一个理想$\mathfrak{q}$是$\mathfrak{m}$-准素的，其中$\mathfrak{m}$是极大的当且仅当$\mathfrak{m}^n\subseteq \mathfrak{q}\subseteq \mathfrak{m}$对某个$n$。首先$\sqrt{\mathfrak{q}}=\mathfrak{m}$无疑。此时$R/\mathfrak{q}$的元素不是单位就是幂零元，故是$\mathfrak{m}$-准素的。反之，则容易。

下面的工作都是为了刻画某种条件下的唯一性。

定义（准素分解）对于环$R$，理想$\mathfrak{a}$的准素分解是有限个准素理想$\mathfrak{q}_i$的交$$\mathfrak{a}=\bigcap \mathfrak{q}_i$$且满足

• $\mathfrak{a}\neq \bigcap_{i\neq j}\mathfrak{q}_i$，等价地，$\bigcap_{i\neq j} \mathfrak{q}_i\nsubseteq \mathfrak{q}_i$。
• 如果$\mathfrak{q}_i$是$\mathfrak{p}_i$-准素的，那么$\mathfrak{p}_i$是两两不同的。

根据上面的过程，对于Noether环，总存在准素分解。

下面是两个唯一性定理。

第一唯一性 对于Noether环，$\mathfrak{a}$准素分解中的出现的素理想是唯一的，实际上他们正是$\operatorname{Ass}_R(R/\mathfrak{a})$。

证明 假设$\mathfrak{a}=\bigcap \mathfrak{q}_i$，那么得到单射$R/\mathfrak{a}\to \prod R/\mathfrak{q}_i$，这意味着$\operatorname{Ass}_R(R/\mathfrak{a})\subseteq \{\mathfrak{q}_i\}$。反之，任意$\mathfrak{q}_i$，考虑$\mathfrak{q}_i'=\bigcap_{j\neq i}\mathfrak{q}_j$，从而$\mathfrak{q}_i\cap \mathfrak{q}_i'=\mathfrak{a}$，则有单射$$ \mathfrak{q_i}'/\mathfrak{a}\to R/\mathfrak{q}_i\qquad  \mathfrak{q_i}'/\mathfrak{a}\to R/\mathfrak{a}$$再结合$\operatorname{Ass}_R(\mathfrak{q}_i'/\mathfrak{a})\neq \varnothing$知$\operatorname{Ass}_R(\mathfrak{q}_i'/\mathfrak{a})=\{\mathfrak{p}_i\}$，这就证明了反方向。$\square$

第二唯一性 对于Noether环，$\mathfrak{a}$准素分解中的出现的准素理想如果对应的伴随素理想是极小的，那么是这个准素理想是唯一的。

证明 假设$\mathfrak{a}=\bigcap \mathfrak{q}_i$，分解中$\mathfrak{q}_i$对应的素理想$\mathfrak{p}$是极小的，那么通过对$R\setminus \mathfrak{p}$局部化得到$S^{-1}\mathfrak{a}=\bigcap S^{-1}\mathfrak{q}_i$，这只将$\mathfrak{p}_i$的部分保留下来，注意到$S^{-1}\mathfrak{q}_i$在$R$中的原像就是$\mathfrak{q}_i$，具体来说$x=\frac{y}{z}$其中$y\in \mathfrak{q},z\notin \mathfrak{p}$，则$x\in \mathfrak{q}$根据准素理想的定义。所证欲明。$\square$

 最后我们指出，Noether环上的有限生成模也可以讨论准素分解，其过程大体类似。

本文的主要参考是Allen Altman和Steven Kleinman的A Term of Commutative Algebra讲义。