映射的度

本文想要从各个角度介绍映射的度（degree）这一概念。

 

目录

• 综述
• 以代数拓扑观之
• 以微分几何观之
• 以代数几何观之
• 参考文献
• 后记

综述

记$\mathbb{S}^1$为单位圆周。以$X\simeq Y$表示$X,Y$具有相同的同伦型（同伦等价）。

映射度最初来自于$\mathbb{S}^1\to \mathbb{S}^1$映射同伦类的研究。熟知$\mathbb{S}^1$的基本群给出其上映射同伦类的分类，这是Van Kampen定理的直接推论，其证明可见[1] P158或[2] P28甚至[3] P47。倘若视$\mathbb{S}^1\subseteq \mathbb{C}$，其分类结果朴素地说是映射$[z\mapsto z^n]$在$n\in \mathbb{Z}$时不重不漏地给出所有同伦类。换言之我们得到同构$\pi_1(\mathbb{S}^1,*)\cong \mathbb{Z}$。这一分类结果表明，$\mathbb{S}^1\to \mathbb{S}^1$由旋转的『圈数』决定。因此，平面$\mathbb{R}^n$上任意一条封闭曲线$C$，对于不在其上的点$x$，我们总可以透过同伦等价$\mathbb{S}^1\simeq \mathbb{R}^2\setminus \{x\}$谈论环绕的『圈数』（此时也被称为旋转指数），这一概念在复分析中也是关键的，如整体Cauchy积分公式和留数定理，例如[4] P217 10.35 P223 10.42。

 

以代数拓扑观之

下面我们需要一些同调理论和同伦。目前已知的关于圆周的同伦和同调群的结果是

$$\pi_m(\mathbb{S}^n,*)=\begin{cases}0& m< n \\ \mathbb{Z} & m=n \\ ?? &  m>n \end{cases}\qquad \tilde{H}_n(\mathbb{S}^n)=\begin{cases}0& m\neq n \\ \mathbb{Z} & m=n\end{cases}$$

前者给出的$\pi_n(\mathbb{S}^n,*)=\mathbb{Z}$实际上给出$\mathbb{S}^n\to \mathbb{S}^n$全部同伦类，这是一个高度不平凡的结论，这被称为Hopf定理，证明可见[1] P297或[5] P50。后者$\tilde{H}$表示简约奇异同调群，其结果是Mayer-Vietoris序列的自然推论，参见[6] P30。

下面我们的目标是定义一个映射$f: \mathbb{S}^n\to \mathbb{S}^n$的度（degree）。有了上面的Hopf定理，只需要定义$\deg f$为$f$在$\pi_n(\mathbb{S}^n, *)$中的像。用同调，则定义诱导的$$\mathbb{Z}\cong \tilde{H}_n(\mathbb{S}^n)\stackrel{\tilde{H}_n(f)}\to \tilde{H}_n(\mathbb{S}^n)\to \mathbb{Z}$$所定义的数乘（因为$\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$的所有同态由$1$的像决定）。这二者通过观察生成元是一致的。最为基本的几个刻画是

• $\deg(\operatorname{id})=1$。
• $\deg(g\circ f)=\deg f\deg g$。
• $\deg (\textrm{常函数})=0$。
• $\deg (\textrm{镜面反射})=-1$，其中镜面反射是$(x_0,x_1,\ldots,x_n)\mapsto (-x_0,x_1,\ldots,x_n)$。
• $\deg (\textrm{对径映射})=(-1)^{n+1}$，其中对径映射是$(x_0,x_1,\ldots,x_n)\mapsto (-x_0,-x_1,\ldots,-x_n)$。
• 如果非退化的线性变换$A: \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$，那么通过单点紧化得到的映射$\mathbb{S}^n\to \mathbb{S}^n$具有度$\operatorname{sgn}(\det A)$。

证明可见[6] P32。一个有趣的定理是毛球定理

毛球定理 $\mathbb{S}^n$具有一个处处不为$0$的切向量场当且仅当$n$是奇数。

证明 首先无妨将其单位化，假设$x$处的切向量是$v(x)$，不妨假设切向量场是单位的，那么$F(x,\theta)=x\cos \theta+v(x)\sin\theta$定义同伦$\operatorname{id}\simeq (\textrm{对径映射})$，根据前面的计算，这迫使$n$是奇数。而如果$n=2k-1$，那么$$v(x_1,\ldots,x_{2k})=(x_2,-x_1,x_4,-x_3,\ldots,x_{2k},-x_{2k-1})$$定义了一个切向量场。$\square$

上面的证明采自[5]第五节。这个定理的几何意义是二维球面上的毛发永远存在『旋』，参见Wiki百科的介绍。

以微分几何观之

实际上，对于光滑映射$f: M\to N$，如果$M$是无边紧致可以定向的，$N$是连通可定向的，且$M,N$维数相同，我们也可以定义映射的度。首先定义正则值的概念，称下列集合的元素是正则值$$\{y\in N: \forall x\in f^{-1}(y), \textrm{d}f|_x\textrm{非退化}\}$$注意，如果$f^{-1}(y)=\varnothing$，那么自动是正则值。具体的操作如下

• 首先Sard定理断言，正则值是稠密的。实际上Sard定理指出非正则值具有Lebsgue测度$0$。
• 注意到对于正则值$y\in N$, $f^{-1}(y)$总是有限的。
• 对于正则值$y\in N$，定义$$\deg(f,y)=\sum_{x\in f^{-1}(y)} \operatorname{sgn} \textrm{d}f|_x$$这里$\operatorname{sgn}$取值为$\pm 1$，为$1$与否取决于和定向是否一致。
• 注意到，$\deg(f,y)$关于正则值$y$是局部常值的，即使$f^{-1}(y)=\varnothing$。
• 证明如果$g\simeq h$，那么$\deg(g,y)=\deg(h,y)$。这里同伦当然还要求光滑。这部分需要用到定向和一维光滑流形的分类。
• 齐性引理断言任何连通流形$N$上两点都可以有和$\operatorname{id}$的同伦$h: N\to N$使得$h(x)=y$。
• 综合上述结果可知$\deg(f,y)$和正则值$y$的选取是无关的。

以上过程摘自[5]第5节。粗略来说，以上定义切换回$\mathbb{S}^1\to \mathbb{S}^1$的例子就是看各点是在顺时针旋转还是逆时针旋转。为了防止重复计数的『原路返回』的『假圈数』，用局部顺逆来作为指标。一个或许令人震惊的推论是$\deg f\neq 0$意味着$f$一定是满射，这表明紧致性的条件确实足够之强。

以上过程说明$\deg$是可以局部计算的，拓扑上的证明可见[1]P192 7.5或[2]  P134 2.30，这实际上证明了两个度定义的一致性。一个不需要定向的指标是$\# f^{-1}(y)\mod 2$，建立过程是类似的，参见[5]第4节，这直接用原像的点的个数来衡量。作为定义$\deg$的应用，我们可以谈论一个『带重数』的积分定理。

定理 对于两个紧致连通可定向$n$维光滑流形之间的光滑映射$M\stackrel{f}\to N$，对任何$N$的$n$次微分形式$\omega$都有$$\int_M \omega\circ f =\deg f \int_N \omega $$

证明 Sard定理断言非正则值是Lebsgue测度0的，这保证了我们可以只在正则值上考虑（因为正则值是开集），通过单位分拆，我们只需要证明存在正则值的开覆盖使得$\operatorname{supp}\omega$再其中时是正确的即可。这总是可以做到的，因为任意一个正则值$y$，假设$f^{-1}(y)=\{x_1,\ldots,x_m\}$，则在$x_i$处局部都是微分同胚，由于有限，可以选择透过$f$微分同胚的开集$U_i\ni x_i$和$V\ni y$，这样根据$\deg$的定义命题得证。$\square$

参见[7] P51 (5.19)，作者在当中重新建立了$\deg$的概念。

实际上上述概念还可以纯拓扑地看。令$f:M\to N$是无边紧致可定向的$n$维拓扑流形之间的连续映射，Poincaré对偶表明$H^n(M)=H^0(M)=H^n(N)=H^0(N)=\mathbb{Z}$，那么可以定义其度为诱导的数乘。当中可定向也需要纯拓扑地定义。至于二者的一致性，利用de Rham理论和上面积分的刻画应当可以证明出其等价性，同时利用定义的局部性，应当也可以给出一个证明，但是目前我没有亲眼看到一个证明，如果你知道任何Reference，请联系我。除此之外，拓扑定义的可定向和微分几何通常可定向是一致的证明，如果你知道，也请务必告诉我。

以代数几何观之

在代数几何中，我们想要类比微分几何对曲线之间的同态定义度的概念。下面固定代数闭域$\Bbbk$，我们可以对任意一个超越次数为$1$的域$K$，定义抽象的曲线为其上所有离散赋值构成的集合，当中仿照仿射情形赋予的Zariski拓扑，这总是可以嵌入某个射影空间$\mathbb{P}_{\Bbbk}^n$的，参见[8] P44 6.9。这表明其是完备的，这类比紧致性，参见[8] P136 6.7。之后我们通称之为曲线。一个重要的引理如下。

引理 态射$X\stackrel{f}\to Y$要么是常值映射，要么是满射。

参见[8] P138 6.8。这在Riemann曲面上也有类比。注意到满射意味着对应的函数域有包含关系（实际上只需要像稠密，这被称作dominant）。假如$X$是光滑的，那么函数域$\mathcal{K}(Y)\to \mathcal{K}(X)$是有限代数扩张。我们就定义$$\deg f=[\mathcal{K}(X): \mathcal{K}(Y)]$$

如果运用除子理论，我们可以更清晰地看到这和前面定义的类比之处。对于$Y$上的一个点$y$，那么$y$对应于$\mathcal{K}(Y)$上的一个$\Bbbk$-离散赋值$\mu$，则$y$的原像对应于$\mathcal{K}(X)$上的$\mu$的全部扩张。假如$t\in \mathcal{K(Y)}$使得$\mu(t)=1$，那么定义$$f^*(y)=\sum_{f(x)=y}\mu_x(t)x\qquad (\textrm{形式和})\qquad \textrm{其中$\mu_x$是$x$对应的$\mathcal{K}(X)$上的赋值}$$实际上，$\mu_x(t)$就是$x$作为$y$原像的『重数』，这样，类似于数论中的基本恒等式（因为假设代数闭，所以惰性指数始终为$1$，而分歧指数正是$\mu_x(t)$）断言$$f^*(y)\textrm{各项系数之和}=\sum_{f(x)=y}\mu_x(t)=\deg f$$参见[8] P138 6.9. 

我们想要回到最初$\mathbb{S}^1\to \mathbb{S}^1$上，不过可惜代数几何没有这类类比。好在$\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}$这样的曲线（这是曲线，参见[8] P136 6.7）是$\mathbb{C}$添加上一个无穷远点，这正是我们熟悉的Riemann球。一般地，Riemann球上的多项式函数$f$，在代数拓扑、微分几何、代数几何的意义下的度均是$f$的次数。假设$f$的次数是$n$，不妨假定首项系数为$1$，

• 拓扑地，$f(z)$和$z^n$是同伦的，于是通过Mayer-Vietoris序列只需要限制到单位圆周上考虑，这就说明了$\deg f=n$。要验证$f_t=z^n+t(\textrm{低次部分})$是同伦，本质上是要验证$\infty$附近的情况，无非是说明$f_t$在$z$充分大时恒不为$0$。实际上$f_t$在$|z|>\textrm{$f$各个系数的模}+1$时$f_t(z)\neq 0$，因为假设各个系数的最大值是$c$那么$$\begin{array}{rll}|f_t(z)|& = |z^n+t(\ldots )| \geq |z^n|-t|\ldots| \geq |z^n|-|\ldots |\\ &\geq |z^n|-c\frac{|z^n|-1}{|z|-1} > |z^n|-c\frac{|z^n|}{|z|-1} \geq |z^n|-|z^n|=0\end{array}$$
• 微分几何上看，因为$f(z)=c$在$c$取一般的点的时候是$n$个，且$f$全纯保证定向处处相同。具体来说假如记$f=u+iv,z=x+iy$，那么根据Cauchy-Riemann方程$$\det \left(\begin{array}{cc}\frac{\partial u}{\partial x} &\frac{\partial v}{\partial x} \\ \frac{\partial u}{\partial y} &\frac{\partial v}{\partial y} \end{array}\right)=\det \left(\begin{array}{cc}\frac{\partial u}{\partial x} &-\frac{\partial u}{\partial y} \\ \frac{\partial u}{\partial y}  &\frac{\partial u}{\partial x} \end{array}\right)\geq 0$$这就表明$\deg f =n$。
• 代数几何上看，映射$$f: \mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}\longrightarrow \mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}\qquad x\longmapsto f(x)\qquad \infty \mapsto \infty$$诱导了函数域的映射为$$\varphi: \mathbb{C}(t)\longrightarrow \mathbb{C}(t)\qquad t\mapsto f(t)$$如果将$\varphi$视作包含，那么这个映射实际上是$$\mathbb{C}(t)\subseteq \mathbb{C}(t)[X]/(f(X)-t)$$这是一个$n$次代数扩张，根据定义$\deg f=n$。

 这说明了以上三种几何理解映射度的一致性。

参考文献

[1] Topology and Geometry. Glen E. Bredon. GTM139. 

[2] Algebraic Topology. Allen Hatcher available at the author's homepage. 

[3] Algebraic Topology. Tamma tom Dieck. 

[4] Real and Complex Analysis. Walter Rudin. 

[5] Topology from the diferentiable viewpoint. John W. Milnor. 

[6] 同调论. 姜伯驹. 

[7] Representations of Compact Lie Groups. Theodor Bröcker & Tammo tom Dieck. 

[8] Algebraic Geometry. Robin Harshorne. GTM52. 

后记

想不到写完已经这么晚了，一直以来都想搞明白这些横跨各个几何之间概念的联系，今天（准确的说是昨天）看了代数几何的版本，又回忆起之前学习到的度的概念，觉得是时候整理一番了，就写到这么晚了。或许需要一些图片来解释，明天有时间再添加吧。

最近有些失眠，都是三四点才睡，希望这几天能调整过来。

 

图片：cowlick