【杂文】NOI Online2020 Round3 划水记

【杂文】NOI Online2020 Round3 划水记

今天的题依旧水得不行（\(...\) 卡常大赛？）

这次准备按顺序做。

\(T1:\)

\(...\)

我怀疑你在侮辱我的智商，而且我有证据 \(...\)

\(T2:\)

暗示已经很明显了，把边信息存到一个 \(n^2\) 大小的矩阵里，直接跑矩阵快速幂即可。

具体的说，设 \(v(i)=f(0,i )\)，矩阵 \(base\) 中 \(a(i,j)\) 表示点 \(i,j\) 之间是否有边，矩阵 \(A(t)\) 中 \(a(i,j)\) 表示 \(f(i,t)\) 异或到 \(v(j)\) 的次数，按照标准矩阵乘法转移即可。对于一次询问 \(time\)，求出 \(B=A(0)*base^{time}\)，然后对于每个 \(i\)，把 \(v(i)\) 拿来异或 \(B.a(1,i)\) 次即为答案。

复杂度 \(O(qn^3\log inf)\)，过不去。

由于异或的良好性质，可以把矩阵中的所有值都对 \(2\) 进行取模，这样答案是不会变的。取模后就只有 \(0\) 和 \(1\) 了，上 \(bitset\) 。

复杂度 \(O(\frac{qn^3}{w}\log inf)\) 。

刚好 \(10^8\)，有点悬，极限数据跑了 \(1.34s\)，还需要卡下常

想了一下，把快速幂换成倍增就可以了，极限 \(0.47s\) 。

\(T3:\)

首先，选子序列可以视为选出一些排列。

先考虑 \(and\) 的特性，发现最终的 \(\sum a\) 不会超过 \(2^{18}=262144\)，于是很自然地想到预处理 \(phi\)，然后分别计算加出每一种 \(\sum a\) 的方案数，最后扫一遍可能的值统计答案。

一开始想的是按照顺序一个一个往后面加，用 \(f(i,j)\) 表示加到第 \(i\) 个点，目前 \(\sum a\) 的值为 \(j\) 的方案数，则有 \(f(i,j)=\sum_{\substack{{i \& j=0}\\{i~\mid~ j=k}}} f(i-1,k)*cnt(l)\)，但这里的 \(cnt\) 极其难搞，于是作罢。

又重新 \(yy\) 了一下，发现第一维根本就不需要啊，直接 \(f(j)=\sum_{\substack{{i \& j=0}\\{i~\mid~ j=k}}} f(k)*cnt(l)\)，其中 \(cnt(l)\) 为 \(1\) 至 \(n\) 中值为 \(l\) 的个数。

这样的话就很简单了，对于每个 \(j\)，直接枚举它的子集作为 \(k\) 进行转移即可。

复杂度 \(O(3^{\log inf})\)，最大是 \(3*10^8\)，极限 \(3.5s\)，于是又是一波恶心人的卡常（最难受的就是取模，慢得不行），好不容易才卡进了 \(1.7s\)，突然意识到自己造的随机数据有大量空状态，常数小是必然的.....

懒得想其他做法了，把一切都交给 \(\text{CCF}\) 的老爷机吧...

\(updata:\) 经 \(\text{Owen_codeisqueen}\) 聚佬指点，用 \(\text{[WC2018]}\) 州区划分 类似的做法可以优化到 \(O(2^{\log}\log^2)\) 。

期望得分： \(100+100+100\) 。
民间数据：\(100+100+10\) 。

哎... \(T3\) 写挂了... \(f(0)\) 应该初始化为 \(2^{cnt(0)}\) 的，不知道为啥我写了个 \(cnt(0)+1\) ...而且对拍也莫名其妙地没有拍出来...自闭...

实际得分：\(100+100+10\) 。

嘛..不管怎么说，至少比第二场要好些了...