【学习笔记】数论、数学—补充证明 (2)
【学习笔记】数论、数学—补充证明 (2)
\(\text{结论:}\)
\[\sum_{i=1}^{n}\mu^2(i)\sqrt{\frac{n}{i}}=n
\]
\(\text{证明:}\)
\(\text{设}\ 1\ \text{至}\ n\ \text{内所有不含平方因子的数集合为}\{P\}\)
\(\text{则}\ 1\ \text{至}\ n\ \text{内所有数都可以表示为}\ xy^2(x\in\{P\},y\leqslant \sqrt{\frac{n}{x}})\ \text{的形式}\)
\(\text{由莫比乌斯函数性质可得:}\)
\(\text{原式左边}=\sum_{i\in\{P\}}\sqrt{\frac{n}{i}}\)
\(\text{发现其恰好把}1\ \text{至}\ n\ \text{内所有数取了个遍}\)
\(\text{即:}\ \text{原式左边}=n\)
\(\text{证毕。}\)
