【题解】妖怪 [SCOI2016] [P3291] [Bzoj4570]
【题解】妖怪 [SCOI2016] [P3291] [Bzoj4570]
传送门：妖怪 \(\text{[SCOI2016] P3291]}\) \(\text{[Bzoj4570]}\)
【题目描述】
给出 \(n\) \((n\leqslant 10^6)\) 个点 \((x_i,y_i)\)，设 \(f_i(a,b)=x_i+y_i+\frac{bx_i}{a}+\frac{ay_i}{b}\)，求出一组 \((a,b)\)，使得 \(\max\{f_{i\in[1,n]}(a,b)\}\) 最小，输出这个最小值。
【分析】
感觉网上很多题解都没讲清楚。
【Solution #1】
设 \(k=\frac{b}{a}\)，则上面的函数可以转换为 \(f_i(k)=x_i+y_i+kx_i+\frac{y_i}{k}\) 。
求最大的最小很明显要二分，每次检查是否存在一个正实数 \(k\) 满足所有点的 \(f(k)\) 都小于等于 \(mid\) 。即判断这个不等式组是否有解：
\(\begin{cases}f_1(k)\leqslant mid\\f_2(k)\leqslant mid\\...\\f_n(k)\leqslant mid \end{cases}\)
易知 \(f_i\) 是一个双勾函数， 我们可以通过解关于 \(k\) 的一元二次方程 \(f_i(k)=mid\) 得出 \(k\) 的一（两）个解 \(r_1,r_2\) \((r_1\leqslant r_2)\)，则当 \(k\in[r_1,r_2]\) 时一定满足 \(f_i(k)\leqslant mid\) 。对所有点求出 \(k\) 的合法区间，最后判断是否存在交集即可。
时间复杂度：\(O(n\log \inf)\)，可能会 \(TLE\)，但卡一卡貌似能水过。
代码就不放了（懒）。
【Solution #2】
此为正解。
设 \(k=-\frac{b}{a}\)，则 \(f_i(k)=x_i+y_i-kx_i-\frac{y_i}{k}\)（依然是双勾函数）。
假设有一条斜率为 \(k\) 且经过了点 \((x_i,y_i)\) 的直线，则该直线点斜式可表示为 \(y=kx+(y_i-kx_i)\)，其横纵截距分别为 \(\frac{kx_i-y_i}{k}\) 和 \(y_i-kx_i\) 。
把这玩意儿加起来试试？
\((\frac{kx_i-y_i}{k})+(y_i-kx_i)=x_i+y_i-kx _i-\frac{y_i}{k}\)
发现其表示式和 \(f_i(k)\) 一模一样！。
也就是说 \(f_i(k)\) 的实质是斜率为 \(k\) 且过点 \((x_i,y_i)\) 的直线横纵截距之和。
假设当前 \(k\) 已经确定，则计算 \(\max\{f_{i\in[1,n]}(k)\}\) 的过程就是个线性规划，易知该直线与上凸包的切点处 \(f(k)\) 值最大。
反过来想，对于凸包上的每一个点 \(i\)，考虑在什么情况下 \(f_i(k)\) 大于等于其他所以点的 \(f(k)\)，然后在合法情况中找到最小的 \(f_i\) 来更新答案。设点 \(i\) 在凸包上左右相邻两点与 \(i\) 所形成的直线斜率分别为 \(k_1,k_2\) \((k_1 > k_2)\)，则仅当 \(k\) 在 \([k_{2},k_{1}]\) 中取值时合法（只有此时才能满足直线与凸包切点恰好为 \(i\)）
已知当 \(-k=\frac{y_i}{x_i}\) 时 \(f_i\) 可取得最小值（均值不等式），如果 \(k=-\frac{y_i}{x_i}\) 在上述合法值域内，那么 \(f_i(-\frac{y_i}{x_i})\) 就可以作为一个答案的候选项。
如果 \(k=-\frac{y_i}{x_i}\) 不在上述合法区域内，那么就要想办法找到其他 \(k\) 使得 \(f_i(k)\) 尽量小，由于双勾函数的性质， \(k\) 越接近 \(-\frac{y_i}{x_i}\) 函数值就越小，所以直接取 \(k=kr\) 和 \(k=kl\) 的情况进行决策即可。
除了求上凸包要排序，决策都是线性的，时间复杂度：\(O(n\log n)\) 。
（毒瘤 \(OI\) 的算几依旧是这么毒瘤，不过这次代码长度倒是挺良心的）
【Code】
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define LD double
#define LL long long
#define Vector Point
#define Re register int
using namespace std;
const int N=1e6+3;
const LD eps=1e-8;
inline int dcmp(LD a){return a<-eps?-1:(a>eps?1:0);}
int n,t;LD ans=1e18;
inline void in(Re &x){
int f=0;x=0;char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9')f|=c=='-',c=getchar();
while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
x=f?-x:x;
}
struct Point{int x,y;Point(Re X=0,Re Y=0){x=X,y=Y;}}P[N],cp[N];
inline LL Cro(Vector a,Vector b){return (LL)a.x*b.y-(LL)a.y*b.x;}
inline Vector operator-(Vector a,Vector b){return Vector(a.x-b.x,a.y-b.y);}
inline bool cmp(const Point &A,const Point &B){return A.x!=B.x?A.x<B.x:A.y>B.y;}
inline LD getk(Point a,Point b){return (LD)(a.y-b.y)/(a.x-b.x);}
inline LD calc(Point a,LD k){return dcmp(k)?a.x+a.y-a.x*k-a.y/k:1e18;}
int main(){
// freopen("123.txt","r",stdin);
in(n);
for(Re i=1;i<=n;++i)in(P[i].x),in(P[i].y);
sort(P+1,P+n+1,cmp);
for(Re i=1;i<=n;++i){
while(t>1&&Cro(cp[t]-cp[t-1],P[i]-cp[t-1])>=0)--t;
cp[++t]=P[i];
}
for(Re i=1;i<=t;++i){
LD k=-sqrt((LD)cp[i].y/cp[i].x);
if((i==1||dcmp(k-getk(cp[i],cp[i-1]))<=0)&&(i==t||dcmp(k-getk(cp[i],cp[i+1])>=0)))ans=min(ans,calc(cp[i],k));
if(i>1)ans=min(ans,calc(cp[i],getk(cp[i],cp[i-1])));
if(i<t)ans=min(ans,calc(cp[i],getk(cp[i],cp[i+1])));
}
printf("%.4lf\n",ans);
}
