【学习笔记】数论、数学—常见定理、结论、性质汇总
【学习笔记】数论、数学—常见定理、结论、性质汇总
〇：【不知道放哪儿好的内容】
1.【和式】
【推导结论】
-
\(\sum_{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}\)
-
\(\sum_{i=1}^{n}i^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
-
\(\sum_{i=1}^{n}i^{3}=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}\)
2.【下降幂、上升幂】
【基本性质、定理】
-
\(x^{\underline{n}}=(x-1)^{\underline{n-1}}x=\frac{(x)!}{(x-n)!}=\prod_{i=x-n+1}^{x} i\) \((x^{\underline{0}}=1)\)
-
\(x^{\overline{n}}=(x+1)^{\overline{n-1}}x=\frac{(x+n-1)!}{(x-1)!}=\prod_{i=x}^{x+n-1} i\) \((x^{\overline{0}}=1)\)
【推导结论】
-
\(x^{\underline{n}}=(-1)^n(-x)^{\overline{n}}\)
-
\(x^{\overline{n}}=(-1)^n(-x)^{\underline{n}}\)
-
\(x^{\underline{n}}=A_{x}^{n}\)
-
\(x^{\overline{n}}=A_{x+n-1}^{n}\)
3.【三角函数】
【基本性质、定理】
(1).【函数基本关系】
-
\(\tan \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\)
-
\(\cot \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\)
-
\(\sin \alpha\csc \alpha=1\)
-
\(\cos \alpha\sec \alpha=1\)
-
\(\tan \alpha\cot \alpha=1\)
-
\(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\)
-
\(\sec^{2}\alpha-\tan^{2}\alpha=1\)
-
\(\csc^{2}\alpha-\cot^{2}\alpha=1\)
(2).【秀导公式】
-
\(\sin(-\alpha)=-\sin \alpha\)
-
\(\cos(-\alpha)=\cos \alpha\)
-
\(\tan(-\alpha)=-\tan \alpha\)
-
\(\cot(-\alpha)=-\cot \alpha\)
-
\(\sin(\pi+\alpha)=-\sin \alpha\)
-
\(\cos(\pi+\alpha)=-\cos \alpha\)
-
\(\tan(\pi+\alpha)=\tan \alpha\)
-
\(\cot(\pi+\alpha)=\cot \alpha\)
-
\(\sin(\pi-\alpha)=\sin \alpha\)
-
\(\cos(\pi-\alpha)=-\cos \alpha\)
-
\(\tan(\pi-\alpha)=-\tan \alpha\)
-
\(\cot(\pi-\alpha)=-\cot \alpha\)
-
\(\sin(\frac{1}{2}\pi-\alpha)=\cos \alpha\)
-
\(\cos(\frac{1}{2}\pi-\alpha)=\sin \alpha\)
-
\(\tan(\frac{1}{2}\pi-\alpha)=\cot \alpha\)
-
\(\cot(\frac{1}{2}\pi-\alpha)=\tan \alpha\)
(3).【和角公式】
-
\(\sin(\alpha+\beta)=\sin \alpha\cos \beta+\cos \alpha\sin \beta\)
-
\(\sin(\alpha-\beta)=\sin \alpha\cos \beta-\cos \alpha\sin \beta\)
-
\(\cos(\alpha+\beta)=\cos \alpha\cos \beta-\sin \alpha\sin \beta\)
-
\(\cos(\alpha-\beta)=\cos \alpha\cos \beta+\sin \alpha\sin \beta\)
-
\(\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan \alpha+\tan \beta}{1-\tan \alpha\tan \beta}\)
-
\(\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan \alpha-\tan \beta}{1+\tan \alpha\tan \beta}\)
(4).【积化和差】
（同 \(\cos\) 异 \(\sin\)，\(\sin\) \(\sin\) 负负）
-
\(\cos \alpha\cos \beta=\frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)]\)
-
\(\sin \alpha\sin \beta=-\frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)]\)
-
\(\sin \alpha\cos \beta=\frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)]\)
-
\(\cos \alpha\sin \beta=\frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)]\)
(5).【和差化积】
-
\(\sin \alpha+\sin \beta=2\sin(\frac{\alpha+\beta}{2})\cos(\frac{\alpha-\beta}{2})\)
-
\(\cos \alpha+\cos \beta=2\cos(\frac{\alpha+\beta}{2})\cos(\frac{\alpha-\beta}{2})\)
-
\(\sin \alpha-\sin \beta=2\cos(\frac{\alpha+\beta}{2})\sin(\frac{\alpha-\beta}{2})\)
-
\(\cos \alpha-\cos \beta=-2\sin(\frac{\alpha+\beta}{2})\sin(\frac{\alpha-\beta}{2})\)
-
\(\tan \alpha+\tan \beta=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos \alpha\cos \beta}\)
(6).【倍角公式】
-
\(\sin 2\alpha=2\sin \alpha\cos \alpha\)
-
\(\cos 2\alpha=\cos^2 \alpha-\sin^2 \alpha=2\cos^2 \alpha-1=1-2\sin^2 \alpha\)
-
\(\tan 2\alpha=\frac{2\tan \alpha}{1-\tan^2 \alpha}\)
(7).【半角公式】
-
\(\sin \frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{2}}\)
-
\(\cos \frac{\alpha}{2}=\pm \sqrt{\frac{1+\cos \alpha}{2}}\)
-
\(\tan \frac{\alpha}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}}\)
-
\(\tan \frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos \alpha}{\sin \alpha}=\frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha}\)
(8).【万能公式】
-
\(\sin \alpha=\frac{2\tan \frac{\alpha}{2}}{1+\tan^{2} \frac{\alpha}{2}}\)
-
\(\cos \alpha=\frac{1-\tan^{2} \frac{\alpha}{2}}{1+\tan^{2} \frac{\alpha}{2}}\)
-
\(\tan \alpha=\frac{2\tan \frac{\alpha}{2}}{1-\tan^{2} \frac{\alpha}{2}}\)
(9).【正弦定理、余弦定理】
-
\(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2 R\)（其中 \(R\) 为 \(\Delta ABC\) 外接圆半径）
-
\(\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\)
-
\(\cos B=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}\)
-
\(\cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}\)
(10).【常见反三角函数】
- \(\arcsin \alpha+\arccos \alpha=\frac{\pi}{2}\)
(11).【辅助角公式】
- \(a\sin \alpha+b\cos \alpha=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\alpha+\arctan\frac{b}{a})\ (a>0)\)
4.【单位根】
【基本性质、定理】
-
\(\omega_{n}^{k}=\cos(\frac{2\pi k}{n})+\sin(\frac{2\pi k}{n})i\)
-
\(\omega_{n}^{k}=g^{\frac{k(P-1)}{n}}\mod P\) \((P=k2^{t}+1,P\in \{Prime\})\)
【推导结论】
-
\(\omega_{n}^{k}=(\omega_{n}^{1})^{k}\)
-
\(\omega_{n}^{j}\omega_{n}^{k}=\omega_{n}^{j+k}\)
-
\(\omega_{2n}^{2k}=\omega_{n}^{k}\)
-
\(\omega_{n}^{(k+n/2)}=-\omega_{n}^{k}\) \((n\) 为偶数 \()\)
-
\(\sum_{i=1}^{n-1}\omega_{n}^{i}=0\)
一：【基本数论、数学知识】
1.【斐波那契数列（Fibonacci）】
【基本性质、定理】
- \(fib_{n}=\begin{cases}0&n=0\\ 1&n=1\\ fib_{n-1}+fib_{n-2}&n>1\end{cases}\) 【模板】
【推导结论】
-
\(\sum_{i=1}^{n}{f_{i}}=f_{n+2}-1\)
-
\(\sum_{i=1}^{n}{f_{2i-1}}=f_{2n}\)
-
\(\sum_{i=1}^{n}{f_{2i}}=f_{2n+1}-1\)
-
\(\sum_{i=1}^{n}{(f_{i})^2}=f_{i}f_{i+1}\)
-
\(f_{n+m}=f_{n-1}f_{m-1}+f_{n}f_{m}\)
-
\((f_{n})^2=(-1)^{(n-1)}+f_{n-1}f_{n+1}\)
-
\(f_{2n-1}=(f_{n})^2-(f_{n-2})^2\)
-
\(f_{n}=\frac{f_{n+2}+f_{n-2}}{3}\)
-
\(\frac{f_{i}}{f_{i-1}} \approx \frac{\sqrt{5}-1}{2} \approx 0.618\)
-
\(f_{n}=\frac{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n}}{\sqrt{5}}\) 【证明】
2.【最大公约数（GCD）和最小公倍数（LCM）】
【基本性质、定理】
-
\(\gcd(a,b)=\gcd(b,a-b)\) \((a>b)\)
-
\(\gcd(a,b)=\gcd(b,a \mod b)\)
-
\(\gcd(a,b)\operatorname{lcm}(a,b)=ab\)
【推导结论】
-
\(k | \gcd(a,b) \iff k|a\) 且 \(k|b\)
-
\(\gcd(k,ab)=1 \iff \gcd(k,a)=1\) 且 \(\gcd(k,b)=1\)
-
\((a+b)\mid ab\Longrightarrow \gcd(a,b)\neq 1\) 【例题】
-
在 \(Fibonacc\) 数列中求相邻两项的 \(\gcd\) 时，辗转相减次数等于辗转相除次数。
-
\(\gcd\left(fib_{n},fib_{m}\right)=fib_{\gcd(n,m)}\) 【证明】
3.【裴蜀（Bézout）定理】
【基本性质、定理】
-
设 \(a,b\) 是不全为零的整数，则存在整数 \(x,y\) , 使得 \(ax+by=\gcd(a,b)\)
-
\(\gcd(a,b)|d \iff \exists x,y\in\mathbb{Z},ax+by=d\)
【推导结论】
-
设不定方程 \(ax+by=\gcd(a,b)\) 的一组特解为 \(\begin{cases}x=x_0\\ y=y_0\end{cases}\)，则 \(ax+by=c\) \((\gcd(a,b)|c)\) 的通解为 \(\begin{cases}x=\frac{c}{\gcd(a,b)}x_0+k\frac{b}{\gcd(a,b)}\\ y=\frac{c}{\gcd(a,b)}y_0-k\frac{a}{\gcd(a,b)}\end{cases}(k\in\mathbb{Z})\) 。【模板】
-
\(\forall a,b,z\in\mathbb{N^{*}},\gcd(a,b)=1,\) \(\exists x,y\in\mathbb{N^{}},\) \(ax+by=ab-a-b+z\) 【例题】
4.【欧拉函数】
【基本性质、定理】
-
\(\varphi(x)=x\prod_{i=1}^{n}(1-\frac{1}{p_{i}}),\) 其中 \(p_i\) 为 \(x\) 的质因子，\(n\) 为 \(x\) 的质因子个数
-
\(\gcd(a,b)=1\Longrightarrow \varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)\)（欧拉函数是积性函数）
【推导结论】
-
\(p>2 \Longrightarrow [\varphi(p)\mod 2=0]\)
-
\(p\in\{Prime\} \Longrightarrow \varphi(p^{k})=p^{k}-p^{k-1}\)
-
\(\sum_{i=1}^{n}i[gcd(i,n)=1]=\frac{n\varphi(n)+[n=1]}{2}\) 【例题】
-
\(f(n)=\sum_{i=1}^{n}[\gcd(i,k)=1]=\frac{n}{k}\varphi(k)+f(n\mod k)\)
5.【同余运算】
【基本性质、定理】
-
\(\begin{cases}a\equiv b(\bmod m)\\ c\equiv d(\bmod m)\end{cases}\Longrightarrow a+c\equiv b+d(\bmod m)\)
-
\(\begin{cases}a\equiv b(\bmod m)\\ c\equiv d(\bmod m)\end{cases}\Longrightarrow a-c\equiv b-d(\bmod m)\)
-
\(a\equiv b(\bmod m)\Longrightarrow ak\equiv bk(\bmod m)\)
-
\(ka\equiv kb(\bmod m),\gcd(k,m)=1\Longrightarrow a\equiv b(\bmod m)\)
6.【费马小定理及其扩展】
【基本性质、定理】
- \(P\in\{Prime\},P\nmid a\Longrightarrow a^{P-1}=1(\bmod P)\)
【推导结论】
- 对于任意多项式 \(F(x)=\sum_{i=0}^{\infty}a_i x^i\)（\(a_i\) 对一个质数 \(P\) 取模），若满足 \(a_{0}\equiv 1(\bmod P)\)，则 \(\forall n\leqslant P,F^{P}(x)\equiv 1(\bmod x^{n})\) 。【例题】
7.【欧拉定理及其扩展】
【基本性质、定理】
-
\(\gcd(a,m)=1\Longrightarrow a^{\varphi(m)}\equiv 1(\bmod m)\)
-
\(\gcd(a,m)=1\Longrightarrow a^{b} \equiv a^{b\mod \varphi(m)}(\bmod m)\)
-
\(b>\varphi(m)\Longrightarrow a^{b} \equiv a^{b\mod \varphi(m)+\varphi(m)}(\bmod m)\) 【例题】
【推导结论】
8.【孙子定理/中国剩余定理（CRT）及其扩展】
【基本性质、定理】
- 若 \(m_1,m_2...m_k\) 两两互素，则同余方程组 \(\begin{cases}x\equiv a_{1}\left(\bmod m_{1}\right)\\ x\equiv a_{2}\left(\bmod m_{2}\right)\\ \vdots\\ x\equiv a_{k}\left(\bmod m_{k}\right)\end{cases}\) 有唯一解为：\(x=\sum_{i=1}^{k}a_iM_iM_i^{-1},\) 其中 \(M_i=\prod_{j\neq i}m_j\) 。【模板】
9.【佩尔（Pell）方程】
【基本性质、定理】
-
形如 \(x^2-Dy^2=1\) \((D\in\mathbb{N^{*}}\text{且为非平方数})\) 的方程被称为第一类佩尔方程。设它的一组最小正整数解为 \(\begin{cases}x=x_0\\ y=y_0\end{cases},\) 则其第 \(n\) 个解满足：\(x_n+\sqrt{D}y_n=(x_0+\sqrt{D}y_0)^{n+1},\) 递推式为 \(\begin{cases}x_n=x_0x_{n-1}+Dy_0y_{n-1}\\ y_n=x_0y_{n-1}+y_0x_{n-1}\end{cases}\) 。【例题】
-
形如 \(x^2-Dy^2=-1\) \((D\in\mathbb{N^{*}}\text{且为非平方数})\) 的方程被称为第二类佩尔方程。设它的一组最小正整数解为 \(\begin{cases}x=x_0\\ y=y_0\end{cases},\) 则其第 \(n\) 个解满足：\(x_n+\sqrt{D}y_n=(x_0+\sqrt{D}y_0)^{2n+1}\) 。递推式略。
10.【勾股方程/勾股数组】
【基本性质、定理】
- 方程 \(x^2+y^2=z^2\) 的正整数通解为 \(\begin{cases}x=k(u^2-v^2)\\ y=2kuv\\ z=k(u^2+v^2)\end{cases}(u,v\in\{Prime\},k\in\mathbb{N^{*}}),\) 且均满足 \(\gcd(x,y,z)=k\) 。
二：【组合数学】
1.【排列与组合数】
【基本性质、定理】
-
\(A_{n}^{m}=\frac{n!}{(n-m)!}\)【排列】
-
\(C_{n}^{m}=\frac{A_{n}^{m}}{m!}=\frac{n!}{m!(n-m)!}\)【组合】
-
\(C_{n}^{m}=C_{n}^{n-m}\)【对称公式】
-
\(C_{n}^{m}=C_{n-1}^{m}+C_{n-1}^{m-1}\)【加法公式】
-
\(C_{n}^{m}=\frac{n}{m}C_{n-1}^{m-1}\)【吸收公式】
-
\(C_{n}^{m}=(-1)^{m}C_{m-n-1}^{m}\)【上指标反转】
-
\(\sum_{i=0}^{m}C_{n+i}^{i}=C_{n+m+1}^{m}\)【平移求和】
-
\(\sum_{i=0}^{k}C_{n}^{i}C_{m}^{k-i}=C_{n+m}^{k}\)【范德蒙德卷积】
-
\(C_{n}^{k}C_{k}^{m}=C_{n}^{m}C_{n-m}^{k-m}\)
【推导结论】
-
\(ij=C_{i+j}^{2}-C_{i}^{2}-C_{j}^{2}\)
-
\(\sum_{i=0}^{n}C_{n-i}^{i}=fib_{n+1}\)
-
\(\sum_{i=0}^{n}C_{i}^{m}=C_{n+1}^{m+1}\)（平移求和）
-
\(\sum_{i=0}^{n}(C_{n}^{i})^{2}=C_{2n}^{n}\)（范德蒙德卷积）
-
\(\sum_{i=0}^{n}(-1)^{n-i}C_{n}^{i}C_{i}^{m}=[m=n]\)（可用其证明二项式反演）
-
\(\sum_{i=0}^{n}(-1)^{i-m}C_{n}^{i}C_{i}^{m}=[m=n]\)（可用其证明二项式反演）
2.【卢卡斯定理】
【基本性质、定理】
- \(C_{n}^{m}=C_{\lfloor\frac{n}{p}\rfloor}^{\lfloor\frac{m}{p}\rfloor}C_{n\mod p}^{m\mod p}\) \((p\in\{Prime\})\) 【模板】
3.【库默尔定理】
【基本性质、定理】
- \(\forall m,n\in\{\mathbb{Z}\},P\in\{Prime\},\) \(C_{m+n}^m\) 含 \(P\) 的幂次等于 \(m+n\) 在 \(P\) 进制下的进位次数。【例 题】
4.【牛顿二项式定理】
【基本性质、定理】
- \((x+y)^{n}=\sum_{i=0}^{n}C_{n}^{i}x^{n-i}y^i\)
【推导结论】
-
\(\sum_{i=0}^{n}C_n^{i}=2^n\)
-
\(\sum_{i=0}^{n}iC_n^{i}=n2^{n-1}\)
-
\(\sum_{i=0}^{n}i^2C_n^{i}=n(n+1)2^{n-1}\)
5.【广义牛顿二项式定理】
【基本性质、定理】
-
\(C_{r}^{n}=\begin{cases}0&n<0,r\in\mathbb{R}\\ 1&n=0,r\in\mathbb{R}\\ \frac{r(r-1)\cdots(r-n+1)}{n!}&n>0,r\in\mathbb{R}\end{cases}\)
-
\((1+x)^{-n}=\sum_{i=0}^{\infty}C_{-n}^{i}x^{i}=\sum_{i=0}^{\infty}(-1)^iC_{n+i-1}^{i}x^i\)
-
\((x+y)^{\alpha}=\sum_{i=0}^{\infty}C_{\alpha}^{i}x^{\alpha-i}y^i\) \((x,y,\alpha\in\mathbb{R}\ \text{且}\ |\frac{x}{y}|<1)\) 【证明】
6.【卡特兰数 (Catalan)】
【基本性质、定理】
- \(cat_{n}=\begin{cases}1&n=0\\ \sum_{i=0}^{n-1}cat_{i}cat_{n-i-1}&n>0\end{cases}\) 【模板 \(1\)】 【模板 \(2\)】
【推导结论】
- \(cat_{n}=C_{2n}^n-C_{2n}^{n+1}=\frac{C_{2n}^{n}}{n+1}\) 【感性理解】 【生成函数严格证明】
7.【斯特林数 (Stirling)】
【基本性质、定理】
-
\(s_{n}^{m}=s_{n-1}^{m-1}+(n-1)s_{n-1}^{m}\) \((s_{n}^{n}=1,s_{n}^{0}=0^{n})\)【第一类斯特林数】
-
\(S_{n}^{m}=S_{n-1}^{m-1}+mS_{n-1}^{m}\) \((S_{n}^{n}=1,S_{n}^{0}=0^{n})\)【第二类斯特林数】【模板】 【例题】
-
\(S_{n}^{m}=\frac{\sum_{i=0}^{m}(-1)^{m-i}C_{m}^{i}i^{n}}{m!}=\sum_{i=0}^{m} \frac{(-1)^{m-i}}{(m-i)!}\frac{i^{n}}{i !}\) 【模板】
【推导结论】
-
\(n!=\sum_{i=0}^{n}s_{n}^{i}\)
-
\(x^{\overline{n}}=\sum_{i=0}^{n}s_{n}^{i}x^i\)
-
\(x^{\underline{n}}=\sum_{i=0}^{n}s_{n}^{i}x^i(-1)^{n-i}\)
-
\(x^n=\sum_{i=0}^{x,n}S_{n}^{i}x^{\underline{i}}\)
-
\(x^{n}=\sum_{i=0}^{x,n}S_{n}^{i}x^{\overline{i}}(-1)^{n-i}\)
-
\(\sum_{i=1}^{n}S_{n}^{i}s_{i}^{m}=\sum_{i=0}^{n}s_{n}^{i}S_{i}^{m}\)
-
\(\sum_{i=0}^{n} i^{k}=\sum_{j=0}^{n}j!S_{k}^{j}C_{n+1}^{j+1}\)
-
\(\sum_{i=1}^{n}C_{n}^{i}i^{k}=\sum_{j=0}^{k} S_{k}^{j}2^{n-j}\frac{n!}{(n-j)!}\) 【例题】
8.【贝尔数 (Bell)】
【基本性质、定理】
9.【Polya 定理】
【基本性质、定理】
- \(ans=\frac{\sum_{i=1}^{n}m^{k_{i}}}{n}\) 【理解】
10.【经典容斥原理】
【推导结论】
- \(f(i)=\sum\limits_{j=i}^{n}(-1)^{j-i}C_{j}^{i}g(j)\) \(=g(i)-\sum\limits_{j=i+1}C_{j}^{i}f(j)\)（\(f(i)\) 为恰好 \(i\) 个满足"balabala"的方案数，\(g(i)\) 为钦定 \(i\) 个满足"balabala“其他随意的方案数）【例题】 【例题】 【例题】 【例题】
11.【生成函数】
【推导结论】
(1).【常用普通生成函数 (OGF) 收敛性式】
-
\(\sum_{i=0}^{\infty}x^i=\frac{1}{1-x}\)
-
\(\sum_{i=0}^{\infty}a^ix^i=\frac{1}{1-ax}\)
-
\(\sum_{i=0}^{\infty}(i+1)x^i=\frac{1}{(1-x)^2}\)
-
\(\sum_{i=0}^{\infty}C_{n}^{i}x^i=(1+x)^n\)
-
\(\sum_{i=0}^{\infty}C_{n+i-1}^{i}x^i=\frac{1}{(1-x)^n}\)
-
\(\sum_{i=0}^{\infty}fib_{i}x^i=\frac{x}{1-x-x^2}\)（斐波那契数）
-
\(\sum_{i=0}^{\infty}(\sum_{j=0}^{i}fib_{j})x^i=\frac{x}{(1-x)(1-x-x^2)}\)（斐波那契数列前缀和）
-
\(\sum_{i=0}^{\infty}cat_{i}x^i=\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}\)（卡特兰数）
(2).【常用指数生成函数 (EGF) 收敛性式】
-
\(\sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^i}{i!}=e^x\)
-
\(\sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^{2i}}{(2i)!}=\frac{e^x+e^{-x}}{2}\)
-
\(\sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^{2i+1}}{(2i+1)!}=\frac{e^x-e^{-x}}{2}\)
-
\(\sum_{i=0}^{\infty}B_{i}\frac{x_{i}}{i!}=e^{e^{x}-1}\)（贝尔数）
三：【各种反演】
1.【欧拉反演】
【基本性质、定理】
- \(\sum_{d|n}\varphi(d)=n\) （即 \(\varphi\ast 1=\operatorname{id}\)） 【证明】
【推导结论】
-
\(\gcd(i,j)=\sum_{d|i,d|j} \varphi(d)\)
-
\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \gcd(i,j)=\) \(\sum_{d=1}^{n}d\left(2\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}{\varphi(i)}-1\right)\) 【例题（\(9\) 倍经验）】
-
\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} \gcd(i,j)=\) \(\sum_{d=1}^{n} \varphi(d) \lfloor\frac{n}{d}\rfloor \lfloor\frac{m}{d}\rfloor\) 【例题】
-
\(\prod_{i=1}^{n} \prod_{j=1}^{n} \left(\frac{\operatorname{lcm}(i,j)}{\gcd(i,j)}\right)=\) \(\frac{(n!)^{2n}}{\left(\prod_{d=1}^{n} d^{\left(2 S_{\varphi}(\lfloor\frac{n}{a}\rfloor)-1\right)}\right)^{2}}\) 【例题】
2.【狄利克雷卷积 (Dirichlet) 与莫比乌斯反演 (Mobius) 】
【基本性质、定理】
-
\((f \ast g)(n)=\sum_{d | n} f(d) g(\frac{n}{d})=\)
-
\(\sum_{d|n} \mu(d)=\epsilon(n)\) （即 \(\mu\ast1=\epsilon\)）
-
\(f(n)=\sum_{d | n} g(d) \Longrightarrow\) \(g(n)=\sum_{d | n} \mu(\frac{n}{d}) f(d)\) （即 \(f=g\ast1 \Longrightarrow g=f\ast\mu\)）
-
\(f(n)=\sum_{n | d} g(d) \Longrightarrow\) \(g(n)=\sum_{n | d} \mu(\frac{d}{n}) f(d)\)
-
\(f(k)=\sum_{d=1}^{\lfloor\frac{n}{k}\rfloor} g(dk) \Longrightarrow\) \(g(k)=\sum_{d=1}^{\lfloor\frac{n}{k}\rfloor} \mu(d) f(dk)\)
【推导结论】
(1).【GCD 和 LCM】
-
\([\gcd(i,j)=1]=\sum_{d|i,d|j} \mu(d)\)
-
\(\sum_{i=1}^{n}\sum_{i=1}^{m}[\gcd(i,j)=k]=\) \(\sum_{d=1}^{\lfloor\frac{n}{k}\rfloor} \mu(d)\lfloor\frac{n}{d k}\rfloor\lfloor\frac{m}{d k}\rfloor\) 【例题】
-
\(\sum_{i=1}^{n}\sum_{i=1}^{m}[\gcd(i,j)\in \{Prime\}]=\) \(\sum_{d=1}^{n}\left(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor\lfloor\frac{m}{d}\rfloor\sum_{p | d\ \&\ p\in\{Prime\}} \mu(\frac{d}{p})\right)\) 【例题】
-
\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} \operatorname{lcm}(i,j)=\) \(\sum_{d=1}^{n} d\left(\sum_{x=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor} x^{2} \mu(x) \sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{dx}\rfloor} i\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{m}{dx}\rfloor} j \right)\) 【例题】
(2).【除数函数】
-
\(\sigma_{k}=\sum_{d|n}d^{k}\)（即 \(\sigma_{k}=\operatorname{id}_{k}\ast1\)）
-
\(\sigma_0(xy)=\sum_{i|x} \sum_{j|y}[\operatorname{gcd}(i,j)=1]\)（其中 \(\sigma_0(x)\) 表示 \(x\) 的约数个数）
-
\(\sum_{i=1}^{n}\sigma_0(i)=\) \(\sum_{i=1}^{n}\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\) 【例题】
-
\(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} \sigma_0(ij)=\) \(\sum_{k=1}^{n}\mu(k)\left(\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{k}\rfloor}\lfloor{\frac{n}{ik}}\rfloor\right)\left(\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{m}{k}\rfloor}\lfloor\frac{m}{i k}\rfloor\right)\) 【例题】
-
\(\sigma_{1}(xy)=\sum_{i\mid x}\sum_{j\mid y} \frac{iy}{j}[\gcd(i,j)=1]\)（其中 \(\sigma_0(x)\) 表示 \(x\) 的约数和）
-
\(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\sigma_1(ij)=\) \(\sum_{d=1}^{n}\mu(d)d \left(\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor} \sigma_1(i)\right)^{2}\) 【例题】
-
\(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m} \sigma_1(\gcd(i,j))=\) \(\sum_{d=1}^{n}\lfloor\frac{n}{d}\rfloor\lfloor\frac{m}{d}\rfloor\left(\sum_{i|d}\mu(\frac{d}{i}) \sigma_1(i)\right)\) 【例题】
(3).【莫比乌斯函数】
-
\(\sum_{k=1}^{n}\mu^{2}(k)=\sum_{d=1}^{\sqrt{n}}\mu(d)\lfloor \frac{n}{d^{2}}\rfloor\) 【例题】
-
\(\sum_{i=1}^{n}\mu^2(i)\sqrt{\frac{n}{i}}=n\) 【证明】
3.【二项式反演】
【基本性质、定理】
-
\(f(n)=\sum_{i=0}^{n}C_{n}^{i}g(i) \Longleftrightarrow\) \(g(n)=\sum_{i=0}^{n}(-1)^{n-i}C_{n}^{i}f(i)\)
-
\(f(n)=\sum_{i=0}^{n}(-1)^{i}C_{n}^{i}g(i)\Longleftrightarrow\) \(g(n)=\sum_{i=0}^{n}(-1)^{i}C_{n}^{i}f(i)\)
-
\(f(n)=\sum_{i=n}^{?}C_{i}^{n}g(i) \Longleftrightarrow\) \(g(n)=\sum_{i=n}^{?}(-1)^{i-n}C_{i}^{n}f(i)\) 【例题】 【例题】
-
\(f(n)=\sum_{i=n}^{?}(-1)^{i}C_{i}^{n}g(i)\Longleftrightarrow\) \(g(n)=\sum_{i=n}^{?}(-1)^{i}C_{i}^{n}f(i)\)
-
\(f(n,m)=\sum\limits_{i=0}^{n}\sum\limits_{j=0}^{m}C_{n}^{i}C_{m}^{j}g(i,j) \Longleftrightarrow\) \(g(n,m)=\sum\limits_{i=0}^{n}\sum\limits_{j=0}^{m}(-1)^{n+m-i-j}C_{n}^{i}C_{m}^{j}f(i,j)\)
-
\(f(n,m)=\sum\limits_{i=0}^{n}\sum\limits_{j=0}^{m}(-1)^{i+j}C_{n}^{i}C_{m}^{j}g(i,j) \Longleftrightarrow\) \(g(n,m)=\sum\limits_{i=0}^{n}\sum\limits_{j=0}^{m}(-1)^{i+j}C_{n}^{i}C_{m}^{j}f(i,j)\)
-
\(f(n,m)=\sum\limits_{i=n}^{?}\sum\limits_{j=m}^{?}C_{i}^{n}C_{j}^{m}g(i,j) \Longleftrightarrow\) \(g(n,m)=\sum\limits_{i=n}^{?}\sum\limits_{j=m}^{?}(-1)^{i+j-n-m}C_{i}^{n}C_{j}^{m}f(i,j)\) 【例题】 【例题】
-
\(f(n,m)=\sum\limits_{i=n}^{?}\sum\limits_{j=m}^{?}(-1)^{i+j}C_{i}^{n}C_{j}^{m}g(i,j) \Longleftrightarrow\) \(g(n,m)=\sum\limits_{i=n}^{?}\sum\limits_{j=m}^{?}(-1)^{i+j}C_{i}^{n}C_{j}^{m}f(i,j)\)
4.【斯特林反演】
【基本性质、定理】
-
\(f(n)=\sum_{i=0}^{n} S_{n}^{i} g(i) \Longleftrightarrow\) \(g(n)=\sum_{i=0}^{n}(-1)^{n-i} s_{n}^{i} g(i)\)
-
\(f(n)=\sum_{i=0}^{n}s_{n}^{i}g(i)\Longleftrightarrow\) \(g(n)=\sum_{i=0}^{n}(-1)^{n-i}S_{n}^{i}f(i)\)
-
\(f(n)=\sum_{i=n}^{?} S_{i}^{n} g(i) \Longleftrightarrow\) \(g(n)=\sum_{i=n}^{?}(-1)^{i-n} s_{i}^{n} g(i)\)
-
\(f(n)=\sum_{i=n}^{?}s_{i}^{n}g(i)\Longleftrightarrow\) \(g(n)=\sum_{i=n}^{?}(-1)^{i-n}S_{i}^{n}f(i)\)
5.【单位根反演】
【基本性质、定理】
-
\([n|k]=\frac{\sum_{i=0}^{n-1}w_{n}^{ik}}{n}\)
-
\([a=b]=\frac{\sum_{i=0}^{n-1} w_{n}^{a i} w_{n}^{-i b}}{n}(a,b<n)\)
【推导结论】
-
\(\sum_{i=0}^{n}C_{n}^{i}m^{i}a_{(i\mod 4)}=\frac{1}{4}\sum_{j=0}^{3}a_{j} \sum_{k=0}^{3}w_{4}^{-kj}(mw_{4}^{k}+1)^{n}\) 【例题】
-
\(\sum\limits_{i=0}^{n}C_{n}^{i}m^i\lfloor\frac{i}{k}\rfloor=\) \(\frac{1}{k}{\left(nm\!(m\!+\!1)^{n-1}-\frac{1}{k}{\sum\limits_{t=0}^{k}(m\omega_{k}^{t}+1)^{n}f(t)}\right)}\) \(\begin{smallmatrix}\left(\!f(t)\!=\!\begin{cases}\!\frac{k(k-1)}{2},\omega_{k}^{-t}\!=\!1\\ \!\frac{k}{\omega_{k}^{-t}-1},\omega_{k}^{-t}\!\neq\! 1\end{cases}\!\right)\end{smallmatrix}\) 【例题】
6.【子集反演】
【基本性质、定理】
-
\(f(S)=\sum_{T\subseteq S}g(T)\Longleftrightarrow g(S)=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|S|-|T|}f(T)\) 【模板】
-
\(f(S)=\sum_{T\supseteq S}g(T)\Longleftrightarrow g(S)=\sum_{T\supseteq S}(-1)^{|T|-|S|}f(T)\)
-
\(f(S)=\sum_{T\subseteq S}g(T)\Longleftrightarrow g(S)=\sum_{T\subseteq S}\mu(|S|-|T|)f(T)\)（\(\mu(S)\) 在 \(S\) 有重复元素时为 \(0\)，否则为 \((-1)^{|S|}\)）
-
\(f(S)=\sum_{T\supseteq S}g(T)\Longleftrightarrow g(S)=\sum_{T\supseteq S}\mu(|T|-|S|)f(T)\)（\(\mu(S)\) 在 \(S\) 有重复元素时为 \(0\)，否则为 \((-1)^{|S|}\)）
7.【最值反演（Min-Max 容斥）】
【基本性质、定理】
-
\(\max(S)=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|+1}\min(T)\)
-
\(\min(S)=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|+1}\max(T)\)
-
\(E(\max(S))=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|+1}E(\min(T))\) 【模板】 【例题】
-
\(E(\min(S))=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|+1}E(\max(T))\)
【推导结论】
-
\(\text{K-th}\max(S)=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|-k}C_{|T|-1}^{k-1}\min(T)\)
-
\(E(\text{K-th}\max(S))=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|-k}C_{|T|-1}^{k-1}E(\min(T))\) 【例题】
8.【拉格朗日反演】
【基本性质、定理】
四：【数论筛法】
1.【杜教筛】
【基本性质、定理】
- \(g(1) S(n)=\sum_{i=1}^{n}(f \ast g)(i)-\sum_{d=2}^{n} g(d) S\left(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor\right)\)（其中 \(S(n)=\sum_{i=1}^{n}f(i)\)）
【推导结论】
-
\(S_{\mu(x)}(n)=1-\sum_{d=2}^{n}S(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor)\) 【模板】
-
\(S_{\varphi(x)}(n)=\sum_{i=1}^{n} i-\sum_{d=2}^{n}S(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor)\) 【模板】
-
\(S_{(n^{2}\varphi(n))}=\sum_{i=1}^{n} i^{3}-\sum_{d=2}^{n} d^{2} S\left(\left\lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor\right)\) 【例题】
五：【导数与积分】
1.【导数】
【基本性质、定理】
-
\(f'(x)=\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\)
-
\([f(x)\pm g(x)]'=f'(x)\pm g'(x)\)
-
\([f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\)
-
\([\frac{f(x)}{g(x)}]'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}\)
-
\(\frac{d}{dx}f(g(x))=\frac{df}{dg}(g(x))\frac{dg}{dx}(x)\)
【基本初等函数的导数公式】
-
若 \(f(x)=C\) \((C\) 为常数 \()\)，则 \(f'(x)=0\)
-
若 \(f(x)=x^{a}\) \((\alpha \in \mathbb{Q}^{*})\)，则 \(f'(x)=ax^{a-1}\)
-
若 \(f(x)=sin(x)\)，则 \(f'(x)=cos(x)\)
-
若 \(f(x)=cos(x)\)，则 \(f'(x)=-sin(x)\)
-
若 \(f(x)=a^x\)，则 \(f'(x)=a^x\ln a\)
-
若 \(f(x)=e^x\)，则 \(f'(x)=e^x\)
-
若 \(f(x)=\log_{a}x\)，则 \(f'(x)=\frac{1}{x\ln a}\)
-
若 \(f(x)=\ln x\)，则 \(f'(x)=\frac{1}{x}\)
2.【积分】
【基本性质、定理】
-
\(\int_{a}^{b} f(x)\mathrm{d}x=\sum\limits_{i=1}^{n} f(\xi_{i})\Delta x_i=\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \sum\limits_{i=1}^{n} f[a+\frac{i}{n}(b-a)] \frac{b-a}{n}\)
-
\(\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x=\left.F(x)\right|_{a} ^{b}=F(b)-F(a)\)（其中 \(F'(x)=f(x)\)）
-
\(\int_{a}^{b}kf(x)\mathrm{d}x=k\int_{a}^{b} f(x)\mathrm{d}x\)
-
\(\int_{a}^{b}[f(x)\pm g(x)]\mathrm{d}x=\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x\pm \int_{a}^{b}g(x)\mathrm{d}x\)
-
\(\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x=\int_{a}^{c}f(x)\mathrm{d}x+\int_{c}^{b}f(x)\mathrm{d}x\)
-
\(\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x=-\int_{b}^{a}f(x)\mathrm{d}x\)
-
\(\int_{a}^{a}f(x)\mathrm{d}x=0\)
【基本积分公式】
-
\(\int k\,\mathrm{d} x=kx+C\) \((C\) 为常数 \()\)
-
\(\int x^a\,\mathrm{d}x=\frac{x^{a+1}}{a+1}+C\) \((a\neq -1)\)
-
\(\int \frac{\mathrm{d}x}{x}=\ln|x|+C\)
-
\(\int e^x\,\mathrm{d}x=e^x+C\)
-
\(\int a^x\,\mathrm{d}x=\frac{a^x}{\ln a}+C\)
-
\(\int \frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}=arctan(x)+C\)
-
\(\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}}=arcsin(x)+C\)
-
\(\int cos(x)\,\mathrm{d}x=sin(x)+C\)
-
\(\int sin(x)\,\mathrm{d}x=-cos(x)+C\)
-
\(\int \frac{\mathrm{d}x}{cos^2(x)}\,\mathrm{d}x=\int sec^2(x)\,\mathrm{d}x=tan(x)+C\)
-
\(\int \frac{\mathrm{d}x}{sin^2(x)}\,\mathrm{d}x=\int csc^2(x)\,\mathrm{d}x=-cot(x)+C\)
-
\(\int sec(x)tan(x)\,\mathrm{d}x=sec(x)+C\)
-
\(\int csc(x)cot(x)\,\mathrm{d}x=-csc(x)+C\)
六：【多项式全家桶】
1.【多项式乘法】
【基本性质、定理】
- \(\begin{cases} F\left(\omega_{n}^{k}\right)=F l\left(\omega_{n / 2}^{k}\right)+\omega_{n}^{k} F R\left(\omega_{n / 2}^{k}\right) \\ F\left(\omega_{n}^{k+n / 2}\right)=F L\left(\omega_{n / 2}^{k}\right)-\omega_{n}^{k} F R\left(\omega_{n / 2}^{k}\right) \end{cases}\) 【模板】
2.【分治 FFT / NTT】
3.【位运算卷积】
【基本性质、定理】
-
\(\text {or :}\begin{cases} FWT:\left\{F_{0}=G_{0}, F_{1}=G_{0}+G_{1}\right\} \\ IFWT:\left\{G_{0}=F_{0}, G_{1}=F_{1}-F_{0}\right\} \end{cases}\) 【模板】
-
\(\text {and :}\begin{cases} FWT:\left\{F_{0}=G_{0}+G_{1}, F_{1}=G_{1}\right\} \\ IFWT:\left\{G_{0}=F_{0}-F_{1}, G_{1}=F_{1}\right\} \end{cases}\) 【模板】
-
\(\text {xor :}\begin{cases} F W T:\left\{F_{0}=G_{0}+G_{1}, F_{1}=G_{0}-G_{1}\right\} \\ I F W T:\left\{G_{0}=\frac{F_{0}+F_{1}}{2}, G_{1}=\frac{F_{0}-F_{1}}{2}\right\} \end{cases}\) 【模板】
4.【子集卷积】
5.【拉格朗日插值】
【基本性质、定理】
- 已知一个 \(n\) 次多项式 \(F(x)\) 不同的 \(n+1\) 处点值 \((x_i,y_i)_{i\in[0,n]}\)，则 \(F(X)=\sum_{i=0}^{n}\left(y_{i}\prod_{j\neq i}\frac{X-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}\right)\) 。【模板】
【推导结论】
- 已知一个 \(n\) 次多项式 \(F(x)\) 不同的 \(n+1\) 处点值 \((i,y_i)_{i\in[0,n]}\)，则 \(F(m+x)=\frac{(m+x)!}{(m+x-n-1)!}\sum_{i=x}^{n+x}\frac{1}{m-n+i}g(n+x-i)\)，其中 \(g(i)=\frac{y_i(-1)^{n-i}}{i!(n-i)!}\) 。【模板】 【例题】
6.【多项式求逆】
【基本性质、定理】
-
设 \(F(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n,\) \(F^{-1}(x)=\sum_{n=0}^{\infty}b_nx^n\)，则 \(b_0=\frac{1}{a_0},b_n=\sum_{i=0}^{n-1}b_i\left(-\frac{a_{n-i}}{a_0}\right)\) 。【模板】
-
设 \(F(x)G(x)\equiv 1(\bmod x^{n}),F(x)G(x)^{\prime}\equiv 1(\bmod x^{\frac{n}{2}}),\) 则 \(G\equiv 2G^{\prime}-FG^{\prime 2}(\bmod x^{n})\) 。【证明】 【模板】
7.【多项式开方】
8.【多项式除法 / 取模】
9.【多项式对数函数 / 指数函数】
10.【多项式牛顿迭代】
11.【多项式多点求值 / 快速插值】
12.【多项式三角函数】
13.【多项式反三角函数】
14.【常系数齐次线性递推】
【参考文献】
\(To\) \(be\) \(continued...\)
