【题解】分离与合体 [Loj10151]
【题解】分离与合体 [Loj10151]
【题目描述】
给定一个长度为 \(n\) 的序列，如果从某个点 \(k\) 处将区间 \([l,r]\) 断开，划分为 \([l,k]\) 和 \([k+1,r]\)，可以得到 \(a[k]*(a[l]+a[r])\) 的分数，要求最后要把区间划分到无法再分为止（即长度全为 \(1\)），并按照分离时间从前到后，区间从左到右的顺序输出所有划分点 \(k\) 。
【样例】
样例输入：
7
1 2 3 4 5 6 7
样例输出：
238
1 2 3 4 5 6
【数据范围】
\(20\%\) \(N \leqslant 10\)
\(40\%\) \(N \leqslant 50\)
\(100\%\) \(N \leqslant 300\)
【分析】
与经典区间 \(dp\) 题石子合并 \([NOI1995]\) \([P1880]\)非常相似，用 \(dp[l][r]\) 表示将 \([l,r]\) 这段区间彻底划分完所能获得的最大分数。
通常区间 \(dp\) 有两种大的方向：
\((1).\) 从小区间向大区间转移
\((2).\) 从大区间向小区间转移
这道题应采用 \((1)\) 更为合适。
按区间长度从小到大枚举所有区间 \([l,r]\)，再枚举所有决策点 \(k \in[l,r-1]\)，\(dp\) 方程为：
\(dp[l][r]=max\{(a[l]+a[r])*a[k] + dp[l][k] +dp[k+1][r] \}\)
那么再来看这无比诡异的输出。
区间最优决策点在 \(dp\) 的时候记录一下就可以，输出方式可以用队列来进行模拟，和 \(bfs\) 的过程类似。
另外要注意这里队列的两种写法会造成空间消耗的不同，
\((1).\) 从队首取出元素后判断是否为合法区间（即长度大于 \(1\) 才输出划分点）
\((2).\) 在入队前判断，仅让合法区间入队。
第二种只会在队列中加入 \(n-1\) 个合法区间（因为只会划分 \(n-1\) 次），而第一种会比第二种多加入 \(n\) 个长度为 \(1\) 的不合法区间，因此队列空间要开 \(2n\)。
时间复杂度为 \(O(n^3)\) 。
【Code】
#include<cstdio>
#define Re register int
const int N=303;
struct QAQ{int l,r;}Q[N];//空间要开够
int n,h=1,t,tmp,a[N],g[N][N],dp[N][N];
inline void in(Re &x){
int f=0;x=0;char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9')f|=c=='-',c=getchar();
while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
x=f?-x:x;
}
int main(){
in(n);
for(Re i=1;i<=n;++i)in(a[i]);
for(Re i=2;i<=n+1;++i)
for(Re l=1;l+i-1<=n;++l){
Re r=l+i-1;
for(Re k=l;k<r;++k)
if((tmp=dp[l][k]+dp[k+1][r]+a[k]*(a[l]+a[r]))>dp[l][r])dp[l][r]=tmp,g[l][r]=k;
}
printf("%d\n",dp[1][n]);
Q[++t]=(QAQ){1,n};
while(h<=t){
QAQ x=Q[h++];
Re l=x.l,r=x.r,k=g[l][r];
// if(l==r)continue;/*写法1.0*/
// if(!k)continue;/*写法1.1*/
printf("%d ",k);
// Q[++t]=(QAQ){l,k};/*写法1*/
// Q[++t]=(QAQ){k+1,r};/*写法1*/
if(l<k)Q[++t]=(QAQ){l,k};/*写法2*/
if(k+1<r)Q[++t]=(QAQ){k+1,r};/*写法2*/
}
}
