求数组中最长递增子序列的长度

求数组中最长递增子序列的长度

什么是最长递增子序列呢?
问题描述如下:
   设L=<a1,a2,…,an>是n个不同的实数的序列，L的递增子序列是这样一个子序列Lin=<aK1,ak2,…,akm>，其中k1<k2<…<km且aK1<ak2<…<akm。求最大的m值。

如：在序列1，-1，2，-3，4，-5，6，-7中，其最长的递增子序列为1，2，4，6。其长度为4。
对于这个问题有以下几种解决思路:
   1、把a1,a2,...,an排序，假设得到a'1,a'2,...,a'n，然后求a的a'的最长公共子串，这样总的时间复杂度为o(nlg(n))+o(n^2)=o(n^2);
   2、动态规划的思路：
    另设一辅助数组b,定义b[n]表示以a[n]结尾的最长递增子序列的长度，则状态转移方程如下：b[k]=max(max(b[j]|a[j]<a[k],j<k)+1,1);
    这个状态转移方程解释如下：在a[k]前面找到满足a[j]<a[k]的最大b[j],然后把a[k]接在它的后面，可得到a[k]的最长递增子序列的长度，或者a[k]前面没有比它小的a[j]，那么这时a[k]自成一序列，长度为1.最后整个数列的最长递增子序列即为max(b[k]   | 0<=k<=n-1);
    实现代码如下：

 

#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
       int i,j,n,a[100],b[100],max;
       while(cin>>n)
       {
              for(i=0;i<n;i++)
                     cin>>a[i];
              b[0]=1;//初始化，以a[0]结尾的最长递增子序列长度为1
              for(i=1;i<n;i++)
              {
                     b[i]=1;//b[i]最小值为1
                     for(j=0;j<i;j++)
                            if(a[i]>a[j]&&b[j]+1>b[i])
                                   b[i]=b[j]+1;
              }
              for(max=i=0;i<n;i++)//求出整个数列的最长递增子序列的长度
                     if(b[i]>max)
                            max=b[i];
              cout<<max<<endl;
       }
       return 0;
}

显然，这种方法的时间复杂度仍为o(n^2);

 3、对第二种思路的改进：
    第二种思路在状态转移时的复杂度为o(n),即在找a[k]前面满足a[j]<a[k]的最大b[j]时采用的是顺序查找的方法，复杂度为o(n).
    设想如果能把顺序查找改为折半查找，则状态转移时的复杂度为o(lg(n)),这个问题的总的复杂度就可以降到nlg(n).