求中位数，O(n)的java实现【利用快速排序折半查找中位数】

查找无序数组的中位数，要想时间复杂度为O(n)其实用计数排序就能很方便地实现，在此讨论使用快速排序进行定位的方法。

1、中位数定义

2、算法思想

3、Java代码实现

4、时间复杂度分析

5、附录

 

 

中位数一般两种定义：

第一种：

排序后数组的中间位置的值，如果数组的个数是偶数个，则返回排序后数组的第N/2个数。

第一种（官方）：

排序后数组的中间位置的值，如果数组的个数是偶数个，则返回最中间两个数的平均数。

例如：{ 7, 9, 4, 5} 　　第一种输出5；第二种输出6.0

 

 

算法思想：大家应该都知道，快速排序每一躺都能定位一个数在这个数组的最终位置，所以可以利用此特性对数组中任意一个位置进行二分法定位。

　　　　方法就是：一趟快排的partition结束之后，将此时定位的位置与欲定位位置进行比较，如果不等于，则将partition的区间折半，直到等于为止，返回这个位置的值

 

Java代码实现：

因为第二种中位数定义需要定位两个位置，在第一种上扩展即可，所以先讨论第一种：

    public static int getMedian(int[] nums) {
        return partition(nums, 0, nums.length - 1);
    }

    private static int partition(int[] nums, int start, int end) {
        /***快排partition函数原代码——start***/
        int left = start;
        int right = end + 1;

        int point = nums[start];
        while (true) {
            while (left < right && nums[--right] >= point)
                ;
            while (left < right && nums[++left] <= point)
                ;
            if (left == right) {
                break;
            } else {
                int tmp = nums[left];
                nums[left] = nums[right];
                nums[right] = tmp;
            }
        }
        nums[start] = nums[left];
        nums[left] = point;
        /***快排partition函数原代码——end***/
        
        /***定位判断***/
        if (left == (nums.length - 1) / 2) {
            return nums[left];
        } else if (left > (nums.length - 1) / 2) {
            return partition(nums, start, left - 1);
        } else {
            return partition(nums, left + 1, end);
        }
    }

 其实就是在原来的partition结束后加了一个定位判断，此时left指向的就是已经本趟定位的那一个数，如果没有定位成功则将上下界调整折半。

【注意】：“如果数组的个数是偶数个，则返回排序后数组的第N/2个数”这句话需要用 (nums.length - 1) / 2 来实现这句描述的下标，并满足奇数时取最中间下标的效果。

 

时间复杂度分析：

由于此方法采用的也是递归，那么必定符合递归的复杂度通项表达式： T(n) = aT(n/b) + f(n) 

其中a为每次递归会分成几个需要计算的下一层，(n/b)为下一层计算的元素个数，f(n)为本层的计算复杂度

由于是折半查找，所以有：a=1、b=2（平均）、f(n)=n(每次的遍历比较交换)

所以有

T(n) = T(n/2) +n
        =  T(n/4) + n/2 +n
        ……
        = T(1) + 2 + …… + n/2 +n    // T(1)≈1 等比数列求和
        = （1 - n * 2)/(1 - 2)
        = 2n - 1

所以最后平均时间复杂度为O(n)

【最优情况下b=n复杂度O(n);

　最坏情况下b=n-1/n，也就是(n/b)=(n-1),此时复杂度为O(n²)，请自行计算哈】

 

附录——第二种求中位数的实现

思路：第一种已经解决了定位一个数字，而第二种就是定位两个数字，由于定位一个数字的时候不能保证另一个数字已经排序好，所以还需重新调用方法

　　那么就把方法中定位判断的部分单独移出来做一个getByQuickSort(int[] nums，int stop)

 

java代码实现：

    public static double getByQuickSort(int[] nums, int stop) {
        if (stop < 0 || stop >= nums.length) {
            throw new IndexOutOfBoundsException();
        }
        
        int start = 0;
        int end = nums.length -1;
        int par = 0;
        
        while (start <= end) {
            par = partition(nums, start, end);
            if (par == stop) {
                break;
            } else if (par > stop) {
                end = par - 1;
            } else {
                start = par + 1;
            }
        }
        return nums[par];
    }

此处的partition(...)方法就是上一段代码中的partition方法中把 /***定位判断***/ 以下都去掉，然后加一个 return left； 即可。

而找中位数就再写一个方法getMedian2(...)判断一下奇偶，再调用getByQuickSort(....)就可以了：

    public static double getMedian2(int[] nums) {
        if (nums.length % 2 == 1) {
            return getByQuickSort(nums, nums.length / 2);
        } else {
            return (getByQuickSort(nums, nums.length / 2 - 1) + 
                    getByQuickSort(nums, nums.length / 2)) / 2.0;
        }
    }