P2371 [国家集训队] 墨墨的等式

P2371 [国家集训队] 墨墨的等式

题目翻译：

题面已经比较简单，就没必要翻译了。

思路：

本题与 P3403 跳楼机 较像。可以先去体验此题。

同样可以运用同余最短路，我们假设最小的 \(a[i]\) 作为基准，构建同余最短路，求出所有除 \(a[i]\) 以外，其他数的最小的不同组合组合，即所有最小的其余数的组合使其模 \(a[i]\) 不同。这样只需要用同余最短路后得出的 \(dis[i]\) 就是余 \(i\) 的最小组合。让后根据计算得出有多少种加 \(a[i]\) 的方案，可以使最后处于 \([l,r]\) 中，统计答案。

实现：

将数组 \(a\)进行排序，找到最小的 \(a[i]\) 作为基准 \(x\)。然后枚举所有不同的余数 \(i\)，和枚举其他 \(a[j]\) 进行同余最短路的连边，即：

for(int i=1;i<=n;i++){
	scanf("%lld",&a[i]); 
	if(a[i]==0){
		i--;
		n--;
	}
}
sort(a+1,a+1+n);
for(int i=0;i<a[1];i++){
	for(int j=2;j<=n;j++){
		e[i].push_back({(i+a[j])%a[1],a[j]});
	}
}

由于要考虑存在 \(a[i]=0\) 的情况，其不能作为基准，所以直接不统计他即可（否则会 \(Wrong\) \(subtast\)）

让后跑一边 \(dijkstra\) 求出所有 \(dis[i]\)。那答案就是：

\[\sum_{i=0}^{x-1}(\lfloor \frac{r-dis[i]}{x} \rfloor+1) \]

但由于是要求是区间 \([l,r]\) 间才合法，所以还要减去 \(l-1\) 的情况。

完整代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=5e5+10;
struct edge{
	int v,w;
};
struct node{
	int u,dis;
	bool operator>(const node &x)const{return dis>x.dis;}
};
int a[N];
vector<edge>e[N];
priority_queue<node,vector<node>,greater<node>>q;
int dis[N],vis[N];
void dijkstra(){
	memset(vis,0,sizeof(vis));
	memset(dis,0x3f3f3f3f3f3f3f3f,sizeof(dis));
	dis[0]=0;
	q.push({0,0});
	while(!q.empty()){
		int u=q.top().u;
		q.pop();
		if(vis[u])continue;
		vis[u]=1;
		for(auto ed:e[u]){
			int v=ed.v,w=ed.w;
			if(dis[v]>dis[u]+w){
				dis[v]=dis[u]+w;
				q.push({v,dis[v]});
			} 
		}
	}
}
signed main(){
	int n,l,r;
	scanf("%lld%lld%lld",&n,&l,&r);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%lld",&a[i]); 
		if(a[i]==0){
			i--;
			n--;
		}
	}
	sort(a+1,a+1+n);
	for(int i=0;i<a[1];i++){
		for(int j=2;j<=n;j++){
			e[i].push_back({(i+a[j])%a[1],a[j]});
		}
	}
	dijkstra();
	int ans=0;
	for(int i=0;i<a[1];i++){
		if(dis[i]<=r){
			ans+=(r-dis[i])/a[1]+1;
		}
		if(dis[i]<l){
			ans-=(l-dis[i]-1)/a[1]+1;
		}
	}
	printf("%lld",ans);
}

同余最短路讲解