2025-01-20 19:32阅读: 6评论: 0推荐: 0

树状数组（学习笔记）

例题一：P3374 【模板】树状数组 1

例题二：P3368 【模板】树状数组 2

作用：

特征： 一个多用于区间修改，和单点查询。或区间查询单点修改的数据结构，其代码量较少，比较好写。
区别： 它与线段树的功能差不多，但线段树的可拓展性更强。也就是说：树状数组能做的，线段树都能做；而线段树能做的，树状数组有些不能做。但树状数组都可以被线段树替代，那还学什么树状数组？理由很简单它的常数小，且码量小，考场上线段树要写半个小时，而树状数组只需要十几分钟。
优缺点： 总结下来，线段树有一下缺点：

\(1.\)拓展性小
\(2.\)对区间维护的值有较高的要求：

普通树状数组维护的信息及运算要满足 结合律 且可差分,如加法（和)、乘法（积）、异或等。

结合律：\((x \circ y) \circ z = x \circ (y \circ z)\)，其中 \(\circ\) 是一个二元运算符。

可差分：具有逆运算的运算，即已知 \(x \circ y\) 和 \(x\) 可以求出 \(y\)。

优点也很明显：

\(1.\)码量小
\(2.\)常数小
\(3.\)好调试

实现：

基本模型：

\(2.\)我们先给出一个基本概念 —— \(lowbit\)

\(lowbit\) 指该数二进制下从右往左第一个 \(1\) 的位置的值，如 \(6\) 二进制下 \((6)_{10}=(110)_2\)，那它的的\(lowbit\) 值就是 \(10\) ，在比如\((664)_{10}=(1010011000)_2\)，则 \(lowbit(664)=(1000)_2\)

那如何求 \(lowbit\)，我们知道，在计算机中，一个负数的等于它正数的二进制全部取反在加 \(1\)，及假设有一二进制正数 \((1010011000)_2\) 则全部取反后为 \((0101100111)_2\) 在加一就变为 \((0101101000)\) 这时就发现当前数的 \(lowbit\) 就是和它负数的与，及 \(lowbit(x)=x \& -x\)。原理也很简单，因为第一个 \(1\) 前的所有 \(0\) 都变为一，而加一就会全部进位，重新变回 \(0\) 而 \(1\)会变成 \(0\) 所有进位到这就停止了，所以第一个 \(1\) 后的就会变成一样的，其他就不同

int lowbit(int x){
    return x&(-x);
}

\(3.\)知道了 \(lowbit\) 的概念后在看树状数组的基本样子，我们发现，任意一个节点的父亲节点的编号都等于该节点的编号加 \(lowbit\) ，及 \(fa_x=x+lowbit(x)\) 而我们每个节点的值都对应储存了某一个区间的值（后面以区间和为例）,那我们又该如何找到对应的区间了？

\(4.\)我们发现一个区间的下一个包含最多区间的节点编号为该节点编号减去其 \(lowbit\)值，及 \(x-lowbit(x)\)，原因很简单，因为树状数组上的每个节点的 \(lowbit\)值就是它所代表区间的长度。

操作：

知道了这最基本的几个性质后，就好进行操作了：

区间查询和单点修改：

\(1.\)单点修改： 我们只需要修改根节点的值并逐步向上递推，依次修改所有父亲节点，时间复杂度 \(O(logn)\)

void add(int x,int num){
    for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)){
        t[i]+=num;
    }
}

\(2.\)建树： 对于每个点都进行加点即可，时间复杂度 \(O(nlogn)\)

\(3.\)区间查询： 我们要查询 \(l\)到\(r\)的区间和，它实际上就相当于找到 \(1 \sim r\) 的区间和，在减去 \(1 \sim l-1\)的区间和，只需要循环加上每个区间的和即可：

int query(int l,int r){
    int res=0;
    for(int i=r;i>=1;i-=lowbit(i)){
        res+=t[i];
    }
    for(int i=l-1;i>=1;i-=lowbit(i)){
        res-=t[i];
    }
    return res;
}

区间修改和单点修改：

\(1.\)区间修改： 若暴力修改每一个点，那复杂度为 \(O(nlogn)\)比较劣，但我们考虑差分，差分可以将一个区间的修改改为对两个点的修改，这样只需要对 \(l\) 加上修改值，对 \(r+1\) 减去修改值即可：

add(l,k);
add(r+1,-k);

void add(int x,int num){
    for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)){
        t[i]+=num;
    }
}

\(1.\)单点查询： 由于维护的是差分，所以一个点的值等于差分数组的前缀和，只需要不断跳即可：

int query(int r){
    int res=0;
    for(int i=r;i>=1;i-=lowbit(i)){
        res+=t[i];
    }
    return res;
}

第一题完整代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=5e5+10;
int a[N];
int n,m;
int lowbit(int x){
    return x&(-x);
}
int t[2*N];
void add(int x,int num){
    for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)){
        t[i]+=num;
    }
}
int query(int l,int r){
    int res=0;
    for(int i=r;i>=1;i-=lowbit(i)){
        res+=t[i];
    }
    for(int i=l-1;i>=1;i-=lowbit(i)){
        res-=t[i];
    }
    return res;
}
int main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>a[i];
        add(i,a[i]);
    }
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int op;
        cin>>op;
        if(op==1){
            int x,k;
            cin>>x>>k;
            add(x,k);
        }
        else if(op==2){
            int x,y;
            cin>>x>>y;
            cout<<query(x,y)<<endl;
        }
    }
}

第二题完整代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=5e5+10;
int lowbit(int x){
    return x&(-x);
}
int a[N],t[2*N];
int n,m;
void add(int x,int num){
    for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)){
        t[i]+=num;
    }
}
int query(int r){
    int res=0;
    for(int i=r;i>=1;i-=lowbit(i)){
        res+=t[i];
    }
    return res;
}
int main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>a[i];
        int num=a[i]-a[i-1];
        add(i,num);
    }
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int op;
        cin>>op;
        if(op==1){
            int x,y,k;
            cin>>x>>y>>k;
            add(x,k);
            add(y+1,-k);
        }
        else if(op==2){
            int x;
            cin>>x;
            cout<<query(x)<<endl;
        }
    }
}