P11269 【MX-S5-T3】IMAWANOKIWA (Construction ver.)

题目翻译：

对一个初始长度为 \(n\) 的序列 \(a\) 进行操作，每次操作可以任选两个相邻的数 \(a_j,a_{j+1}\) 将这两个数删去，在加上 \(popc(a_j+a_{j+1})\)

\(popc(x)\),表示 \(x\) 在二进制下 \(1\) 的个数
而我们要求出一个操作序列，由于是删二加一，因此总共会有 \(n-1\)次操作，且最后会剩下一个数，而要求的就是使最后的数为 \(t\) 的最小字典序的操作序列。
令操作序列 \(p_i\) 表示第 \(i\) 次操作所选择的 \(j\)，则要求出字典序最小的操作序列。并将它进行转换变为答案。

性质分析：

因为只有 \(0,1,2\) 三个数，而每次操作只会选择两个数，我们可以先对每次的结果经行一个打表：

	\(0\)	\(1\)	\(2\)
\(0\)	\(0\)	\(1\)	\(1\)
\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(2\)
\(2\)	\(1\)	\(2\)	\(1\)

根据该表可以很容易得到一下性质：

\(1.\)若只有 \(0\) 那最终答案一定只为 \(0\)

\(2.\)若只有 \(1\) 那最终答案一定只为 \(1\)

\(3.\)若只有 \(1,2\) 那最终答案一定只为 \(1\)

\(2.\)若只有 \(1,2\) 那最终答案跟 \(2\) 的奇偶有关，因为只有两个 \(2\) 才能消掉 \(2\)

\(t\) 情况讨论：

根据以上的性质发现，若既有 \(0\) 和 \(2\) 那答案就不唯一，那我们可以找不同的情况下的答案：

分析 \(0\) 的个数：

\(1.\)若 \(0\) 的个数为零，那只有形如 \(…12021…\)的形式结果才有可能为 \(2\)，也就是中间一个 \(0\) 两边紧靠两个 \(2\)，接着左右只有 \(1\)。其他情况答案都肯定为 \(1\) 理由如下：

因为一个 \(0\) 可以消掉一个 \(2\) 使其变为 \(1\),而会剩下一个 \(2\) 而 \(2\) 无法消掉 \(1\) 那最终答案很明显就是 \(2\)

其他情况也就是 \(2\) 在一侧或者大于数量大于 \(2\) 那\(2\)的奇偶性一定可以被 \(0\) 控制，若为偶可以消掉一个变为奇，若为奇那也可以消掉一个变为偶。若同时 \(2\) 自己也可以自行抵消，变为 \(1\) 在控制 \(0\)，以此来控制 \(2\) 的奇偶性，所以答案只会为 \(1\)

若 \(0\) 的个数大于 \(1\)，那最终答案一定可以为 \(1\)，理由如下：

由于 \(2\) 可以消掉 \(1\), 而 \(1\) 又可以消掉 \(0\)然后又被 \(2\) 消掉，且 \(0\) 之间相互抵消，而 \(2\) 与 \(2\) 之间会抵消为 \(1\)。若先不考虑 \(0\) 与 \(2\) 之间的转换，那序列最终一定会变成 \(2,0\) 交替出现即\(2020202\)的形式，那中间的数相互抵消，最后也就为\(1\)。

那只需要判断 \(0,1,2\) 的个数和出现的位置，就能判断最终答案的 \(t\) 也就可以拿到 \(25\) 分的答案分

操作序列讨论：

要求出字典序最小，那尽量就从前面取。继续分论：

\(1.\)只有 \(0\) ,只有 \(1\)，只有 \(0,1\)，只有 \(1,2\) :

只需要一直消第一个即可

\(2.\)只有一个 \(0\)：

形如 \(12021\)，已经知道情况：

也就一直消第一个即可

若右边又偶数个 \(2\):

那么右边至少是可以自己消掉的，我们可以先操作第一个直到遇到 \(0\) 然后再分讨一下下一次操作是否会改变 \(2\) 的奇偶性。

若左边又偶数个 \(2\):

那么此时右边是奇数个 \(2\)，我们可以先操作第一个直到遇到 \(0\)，然后再使 \(0\) 消掉右边的 \(2\)。

若左右都只有奇数个 \(2\):

因为已经判掉了答案为 \(2\) 的情况，所以左右一定至少有一边可以用 \(1\) 消掉 \(0\)。为了保证字典序，我们应该优先用右边的 \(1\) 来消掉，这样左边就可以一直选第一个，若右边不合法才优先用左边的。

\(3.\)若 \(0\) 的个数大于 \(1\) ：

我们显然可以先一直选第一个直到只剩下两个 \(0\)，因为数量大于 \(1\) ,所以一定合法。

若不看左边的 \(0\)，右边可以将答案消为一：

那么直接按一个 \(0\) 的方案做就行了。

若不看左边的 \(0\)，右边不合法：

那么我们需要先用左边的 \(0\) 消掉一个 \(2\)，剩下的就简单了。

完整代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ull unsigned long long
#define popc __builtin_popcount
using namespace std;
const int N=1e5+5; 
const int B=13331;
int n,T,cnt;
int sum[N],s[N];
ull pw[N],ans[N];
string t;
void get(int x){
    s[x+1]=popc(s[x]+s[x+1]);
}
void sol1(){
    int i,x;
    for(i=1,s[n+1]=1;i<=n;i++){
        if(s[i]==0){
            x=i;
            break;
        }
    }
    for(i=1;i<=n;i++){
        sum[i]=sum[i-1]+(s[i]==2);
    }
    if((sum[n]-sum[x])%2==0){
        for(i=1;i<x;i++){
            ans[++cnt]=1;
            get(i);
        }
        if(!s[x]){
            for(i=x+1;i<=n && s[i]==2;i++){
                ans[++cnt]=2;
                get(i);
            }
        }
    }
    else if(sum[x]%2==0){
        for(i=1;i<x-1;i++){
            ans[++cnt]=1;
        }
        for(i=x+1;i<=n && s[i]!=2;i++){
            ans[++cnt]=3-(x==1);
            get(i);
        }
        if(x>1){
            ans[++cnt]=2;
        }
    }
    else{
        if(sum[n]-sum[x]==1 && s[x+1]==2){
            if(s[x-1]==2){
                for(i=1;sum[x]-sum[i+1]>=2;i++){
                    ans[++cnt]=1;
                    get(i);
                }
                for(++i;i<x;i++){
                    ans[++cnt]=2;
                }
            }
            else{
                for(i=1;i<x-2;i++){
                    ans[++cnt]=1;
                }
                ans[++cnt]=2;
            }
        }
        else{
            for(i=1;i<x-1;i++){
                ans[++cnt]=1;
            }
            for(i=x+1;i<=n && s[i]==2;i++){
                ans[++cnt]=3;
                get(i);
            }
            ans[++cnt]=2;
        }
    }
}
signed main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0),cout.tie(0);
    freopen("popc.in","r",stdin);
    freopen("popc.out","w",stdout);
    int i,k,r,x,y;
    cin>>T;
    pw[0]=s[0]=1;
    for(i=1;i<N;i++)pw[i]=pw[i-1]*B;
    while(T--){
        cin>>t;
        n=t.size();
        ans[0]=cnt=0;
        r=n;
        for(i=1,s[n+1]=0;i<=n;i++){
            s[i]=t[i-1]-'0';
        }
        for(i=1,x=0;i<=n;i++){
            s[i]?0:(x++,y=i),sum[i]=sum[i-1]+(s[i]==2);
        }
        if(x==n){
            cout<<"0 ";
        }
        else if(!x){
            cout<<(sum[n]&1)+1<<" ";
        }
        else if(x==1 && sum[n]==2 && s[y+1]==2 && s[y-1]==2){
            cout<<"2 ";
        }
        else{
            cout<<"1 ";
        }
        if(x==n || !x || (x==1 && sum[n]==2 && s[y+1]==2 && s[y-1]==2) || !sum[n]){
            while(cnt<n-1){
                ans[++cnt]=1;
            }
        }
        else if(x==1){
            sol1();
        }
        else{
            for(i=n;i;i--){
                if(!s[i]){
                    x=i;
                    break;
                }
            }
            for(i=x-1;i;i--){
                if(!s[i]){
                    k=i;
                    break;
                }
            }
            if(sum[n]-sum[k]==2 && s[x+1]==2 && s[x-1]==2){
                for(i=1;i<k-1;i++){
                    ans[++cnt]=1;
                    get(i);
                }
                if(k==1 || !s[k-1]){
                    if(k>1){
                        ans[++cnt]=1;
                    }
                    for(i=k+1;i<x-1;i++){
                        ans[++cnt]=2;
                    }
                    ans[++cnt]=1;
                    ans[++cnt]=2;
                }
                else if(s[k-1]==1){
                    for(i=k+1;i<x-1;i++){
                        ans[++cnt]=3;
                    }
                    ans[++cnt]=2;
                    ans[++cnt]=1;
                    ans[++cnt]=2;
                }
                else{
                    if(s[k+1]==1){
                        ans[++cnt]=2;
                        for(i=k;i<x-1;i++){
                            ans[++cnt]=1;
                        }
                        ans[++cnt]=2;
                    }
                    else{
                        for(i=k+1;i<x-1;i++){
                            ans[++cnt]=3;
                        }
                        ans[++cnt]=2;
                        ans[++cnt]=2;
                    }
                }
            }
            else{
                for(i=1;i<k;i++){
                    ans[++cnt]=1;
                    get(i);
                }
                if(!s[k]){
                    if(sum[n]-sum[k]==3 && k+1<x-1 && s[k+1]==2 && s[x-1]==2 && s[x+1]==2){
                        for(i=k+1;i<x-1;i++){
                            ans[++cnt]=2;
                        }
                        ans[++cnt]=1;
                        ans[++cnt]=2;
                        while(cnt<n-1){
                            ans[++cnt]=1;
                        }
                    }
                    else{
                        ans[++cnt]=1;
                        get(k++);
                    }
                }
                if(cnt<n-1){
                    for(i=k;i<=n;i++){
                        s[i-k+1]=s[i];
                    }
                    n=n-k+1;
                    sol1();
                }
            }
        }
        for(n=r;cnt<n-1;){
            ans[++cnt]=1;
        }
        while(cnt){
            ans[0]+=ans[cnt]*pw[n-1-cnt];
            cnt--;
        }
        cout<<ans[0]<<endl;
    }
    return 0;
}