P4767 [IOI2000] 邮局 加强版

P4767 [IOI2000] 邮局 加强版

双倍经验P10967 [IOI2000] 邮局（原始版）

题目翻译：

给定村庄数量\(v\)和邮局数量\(p\)求如何放置邮局才能使每个村庄到邮局的距离和最小

思路：

法一： 我们可以很快看出一个关系，令\(dp[i][j]\)表示前\(i\)个村庄放置\(j\)个邮局的最小值，那可以得出一个最简单的转移方程：

\[$dp[i][j]=\min_{k=0}^{k<i}dp[k][j-1]+w[k+1][i]$ \]

若直接枚举所有的\(i,j,k\)，那复杂度就到了\(O(pv^3)\)

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法二： 我们考虑优化，可以发现\(w[i][j]\)可以以\(O(v^2)\)预处理出来，因为要使一段区间的所有点到某一点的距离和最小，那这个点一定在最中间，再加上规律，就可以得到：

\[$w[i][j]=w[i][j-1]+x[i]-x[\lfloor\frac {i+j}{2}\rfloor]$ \]

因此其转移可以优化到\(O(pv^2)\)

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法三： 继续考虑优化，我们可以发现\(w[i][j]\)满足四边形不等式，原因如下:

考虑转换，令 \(j=j+1\)

\[$w[i][j+1]-w[i][j]=x[i]-x[\lfloor \frac{i+j+1}{2}\rfloor]$ \]

令\(i=i+1,j=j+1\)，则有

\[$w[i+1][j+1]-w[i+1][j]=x[i+1]-x[\lfloor \frac{i+j+2}{2}\rfloor]$ \]

联立两式,使一式减二式：

\[$w[i][j+1]-w[i][j]-(w[i+1][j+1]-w[i+1][j])=x[i]-x[\lfloor \frac{i+j+1}{2}\rfloor]-(x[i+1]-x[\lfloor \frac{i+j+2}{2}\rfloor])$ \]

化简可得：

\[$x[\lfloor \frac{i+j+2}{2}\rfloor]-x[\lfloor \frac{i+j+1}{2}\rfloor]=0$ \]

由于\(x\)的坐标单调递增，则有：

\[$x[\lfloor \frac{i+j+2}{2}\rfloor]-x[\lfloor \frac{i+j+1}{2}\rfloor] \geq 0$ \]

及

\[$w[i+1][j]-w[i+1][j+1]-(w[i][j]-w[i][j+1]) \le 0$ \]

转换位置得：

\[$w[i+1][j]+w[i][j+1] \le w[i][j]+w[i+1][j+1]$ \]

则 \(\forall {a \le b \le c \le d}\)，满足 \(w[a][d] \geq w[b][c]\) 可知\(w[i][j]\)满足四边形不等式，则\(dp[i][j]\)也满足四边形不等式

由次可知，对于\(dp[i][j]\)的最优解\(dp[i][j-1] \le dp[i][j] \le dp[i+1][j]\)
我们只需要在转移时在区间\([dp[i][j-1],dp[i+1][j]]\)中找，复杂度变为\(O(pv)\)

完整代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=3010;
int x[N],dp[N][N],w[N][N],d[N][N];
int main(){
    int v,p;
    cin>>v>>p;
    for(int i=1;i<=v;i++)cin>>x[i];
    for(int i=1;i<=v;i++){
        w[i][i]=0;
        for(int j=i+1;j<=v;j++){
            w[i][j]=w[i][j-1]+x[j]-x[(i+j)>>1];
        }
    }
    sort(x+1,x+v+1);
    memset(dp,0x3f,sizeof(dp));
    dp[0][0]=0;
    for(int j=1;j<=p;j++){
        d[v+1][j]=v;
        for(int i=v;i>=1;i--){
            int mn=INT_MAX,minn;
            for(int k=d[i][j-1];k<=d[i+1][j];k++){
                if(dp[k][j-1]+w[k+1][i]<mn){
                    mn=dp[k][j-1]+w[k+1][i];
                    minn=k;
                }
            }
            dp[i][j]=mn;
            d[i][j]=minn;
        }
    }
    cout<<dp[v][p]<<endl;
}

区间\(DP\)讲解